Non-liftable varieties via etale cohomology rings

Sintesi Tecnica: Varietà non sollevabili tramite anelli di coomologia étale

Enunciato del Problema
Il saggio affronta il problema del sollevamento di varietà proiettive lisce dalla caratteristica positiva $p$ alla caratteristica zero. Sebbene siano noti vari ostacoli a tali sollevamenti (ad esempio, quelli derivanti da azioni di gruppi finiti, fallimenti della teoria di Hodge o specifici invarianti cohomologici come i numeri di Betti), gli autori ricercano un nuovo tipo di ostacolo radicato intrinsecamente nella struttura degli anelli di coomologia étale $\ell$-adica. Nello specifico, investigano se l'anello di coomologia étale $H^*(X, \mathbb{Q}_\ell)$ di una varietà $X/\mathbb{F}_p$ possa essere definito su $\mathbb{Q}$. Un $\mathbb{Q}$-algebra graduata $R$ ammette una forma su $\mathbb{Q}$ se esiste un $\mathbb{Q}$-algebra graduata $R_\mathbb{Q}$ tale che $R_\mathbb{Q} \otimes_\mathbb{Q} \mathbb{Q}_\ell \cong R$. Gli autori mirano a costruire una varietà in cui tale condizione fallisce, fornendo così un ostacolo topologico al sollevamento come suggerito da Sullivan.

Metodologia
La costruzione procede in due fasi principali, utilizzando i blow-up per codificare strutture algebriche nell'anello di coomologia:

1. Costruzione della Varietà Ausiliaria $Z$:

   • Gli autori partono da una curva ellittica supersingolare $E$ su $\mathbb{F}_p$. L'algebra dei suoi endomorfismi razionali $D = \text{End}(E) \otimes \mathbb{Q}$ è un'algebra di divisione quaternionica a quattro dimensioni su $\mathbb{Q}$.
   • Selezionano generatori $\alpha, \beta \in \text{End}(E)$ e un insieme di indici $I = \{\infty, 0, 1, \alpha, \beta\}$.
   • All'interno del threefold $Y = (E \times E) \times \mathbb{P}^1$, considerano i grafici $\Gamma_\gamma$ di questi endomorfismi (e copie delle coordinate).
   • Per garantire la disgiunzione e una distinzione di etichettatura, scelgono sottoinsiemi finiti e disgiunti tra loro $T_\gamma \subset \mathbb{P}^1$ con cardinalità distinte $m_\gamma$.
   • Definiscono $Z$ come il blow-up di $Y$ lungo la disgiunta unione delle curve $C_{\gamma, t} = \Gamma_\gamma \times \{t\}$.
   • Meccanismo Chiave: Si dimostra che l'anello di coomologia $H^*(Z)$ recupera intrinsecamente una configurazione etichettata di sottospazi in $H^1(Z) \cong V \oplus V$ (dove $V = H^1(E)$). Nello specifico, il "luogo di calo del rango" (rank-drop locus) delle mappe di moltiplicazione nell'anello di coomologia identifica i divisori eccezionali corrispondenti a ciascun $\gamma$, i quali a loro volta codificano i kernel $K_\gamma$. Questi kernel ricostruiscono l'azione dell'algebra di divisione $D$ su uno spazio vettoriale bidimensionale.

2. Costruzione della Varietà Semplicemente Connessa $X$:

   • Per soddisfare la condizione di essere semplicemente connessa (un requisito per l'ostacolo topologico di Sullivan), gli autori immergono $Z$ in $\mathbb{P}^9_k$ e definiscono $X$ come il blow-up di $\mathbb{P}^9_k$ lungo $Z$.
   • Dimostrano che l'anello di coomologia $H^*(X)$ permette il recupero intrinseco di $H^*(Z)$. Identificando la classe dell'iperpiano e la classe del divisore eccezionale attraverso specifiche relazioni algebriche (ad esempio, proprietà di annichilimento e strutture di kernel), ricostruiscono l'algebra graduata di $Z$ da $X$.
   • Ciò assicura che qualsiasi ostacolo presente in $H^*(Z)$ persista in $H^*(X)$.

Contributi Chiave e Risultati

• Teorema 0.1: Il saggio costruisce una varietà proiettiva liscia e semplicemente connessa $X$ su $\mathbb{F}_p$ la cui anello di coomologia étale $H^*(X, \mathbb{Q}_\ell)$ non ammette alcuna forma su $\mathbb{Q}$.
• Non-Sollevabilità: Come conseguenza diretta (tramite il Lemma 1.1), la varietà $X$ non ammette un sollevamento in caratteristica zero.
• Recupero Intrinseco: Gli autori provano che la configurazione etichettata di sottospazi che codifica l'azione dell'algebra di divisione quaternionica può essere recuperata esclusivamente dalla struttura dell'algebra graduata dell'anello di coomologia, senza riferimento alla costruzione geometrica.
• Contraddizione tramite Algebre di Divisione: La prova che non esiste alcuna forma su $\mathbb{Q}$ si basa sul fatto che, se tale forma esistesse, la configurazione recuperata definirebbe un'azione dell'algebra di divisione $D$ a quattro dimensioni su uno spazio vettoriale $\mathbb{Q}$ bidimensionale, il che è impossibile.

Significatività
Il saggio sostiene di fornire il primo esempio che realizza l'ostacolo topologico di Sullivan al sollevamento in caratteristica zero, il quale postula che il sollevamento è ostacolato se i dati omotopici $\mathbb{Q}_\ell$ non scendono a $\mathbb{Q}$.

• Novità dell'Ostacolo: A differenza di precedenti ostacoli che dipendono da patologie geometriche (ad esempio, il fallimento del vanishing di Kodaira o comportamenti specifici di Frobenius), questo ostacolo sorge dalla struttura intrinseca dell'anello di coomologia étale $\ell$-adica.
• Relazione con l'Aspettativa di Grothendieck: Il risultato fornisce una risposta negativa a una domanda riguardante l'aspettativa di Grothendieck secondo cui il completamento $\ell$-adico del tipo omotopico étale di una varietà liscia propria in caratteristica $p$ dovrebbe essere omotopicamente equivalente al completamento $\ell$-adico di un complesso CW finito. L'esistenza di una varietà il cui anello di coomologia non ammette una forma su $\mathbb{Q}$ implica una differenza fondamentale tra i tipi omotopici in caratteristica $p$ e in caratteristica 0.
• Confronto con il Lavoro Precedente: Gli autori distinguono il loro lavoro da altri risultati di non-sollevabilità (ad esempio, Esnault-Srinivas-Stix, van Dobben de Bruyn) notando che il loro esempio è semplicemente connesso, mentre i precedenti esempi basati sulla topologia $\ell$-adica dipendevano spesso da gruppi fondamentali étale non banali.

Il saggio conclude che gli anelli di coomologia étale $\ell$-adica delle varietà in caratteristica $p$ e 0 possiedono una differenza essenziale, dimostrando che il "buon" comportamento atteso di tali anelli può fallire in un modo che impedisce il sollevamento.