Non-liftable varieties via etale cohomology rings

Resumo Técnico: Variedades Não Levantáveis via Anéis de Cohomologia Étale

Enunciado do Problema
O artigo aborda o problema de levantar variedades projetivas suaves da característica positiva $p$ para a característica zero. Embora vários obstáculos a tais levantamentos sejam conhecidos (por exemplo, aqueles decorrentes de ações de grupos finitos, falhas na teoria de Hodge ou invariantes cohomológicos específicos como números de Betti), os autores buscam um novo tipo de obstáculo enraizado intrinsecamente na estrutura dos anéis de cohomologia étale $\ell$-ádica. Especificamente, eles investigam se o anel de cohomologia étale $H^*(X, \mathbb{Q}_\ell)$ de uma variedade $X/\mathbb{F}_p$ pode ser definido sobre $\mathbb{Q}$. Um $\mathbb{Q}$-álgebra graduada $R$ admite uma forma de $\mathbb{Q}$ se existir uma $\mathbb{Q}$-álgebra graduada $R_\mathbb{Q}$ tal que $R_\mathbb{Q} \otimes_\mathbb{Q} \mathbb{Q}_\ell \cong R$. Os autores visam construir uma variedade onde essa condição falha, fornecendo assim um obstáculo topológico ao levantamento, conforme sugerido por Sullivan.

Metodologia
A construção procede em duas etapas principais, utilizando blow-ups para codificar estruturas algébricas nos anéis de cohomologia:

1. Construção da Variedade Auxiliar $Z$:

   • Os autores partem de uma curva elíptica supersingular $E$ sobre $\mathbb{F}_p$. Sua álgebra de endomorfismos racionais $D = \text{End}(E) \otimes \mathbb{Q}$ é uma álgebra de quatérnios de divisão de quatro dimensões sobre $\mathbb{Q}$.
   • Eles selecionam geradores $\alpha, \beta \in \text{End}(E)$ e um conjunto de índices $I = \{\infty, 0, 1, \alpha, \beta\}$.
   • Dentro da variedade tripla $Y = (E \times E) \times \mathbb{P}^1$, eles consideram gráficos $\Gamma_\gamma$ desses endomorfismos (e cópias de coordenadas).
   • Para garantir a disjunção e a rotulagem distinta, eles escolhem subconjuntos finitos e disjuntos $T_\gamma \subset \mathbb{P}^1$ com cardinalidades distintas $m_\gamma$.
   • Eles definem $Z$ como o blow-up de $Y$ ao longo da união disjunta das curvas $C_{\gamma, t} = \Gamma_\gamma \times \{t\}$.
   • Mecanismo Chave: Mostra-se que o anel de cohomologia $H^*(Z)$ recupera intrinsecamente uma configuração rotulada de subespaços em $H^1(Z) \cong V \oplus V$ (onde $V = H^1(E)$). Especificamente, o "locus de queda de rank" das aplicações de multiplicação em $H^*(Z)$ identifica os divisores excepcionais correspondentes a cada $\gamma$, que, por sua vez, codificam os núcleos $K_\gamma$. Esses núcleos reconstroem a ação da álgebra de divisão $D$ sobre um espaço vetorial de duas dimensões.

2. Construção da Variedade Simplesmente Conexa $X$:

   • Para satisfazer a condição de ser simplesmente conexa (um requisito para o obstáculo topológico de Sullivan), os autores embutem $Z$ em $\mathbb{P}^9_k$ e definem $X$ como o blow-up de $\mathbb{P}^9_k$ ao longo de $Z$.
   • Eles demonstram que o anel de cohomologia $H^*(X)$ permite a recuperação intrínseca de $H^*(Z)$. Ao identificar a classe hiperplano e a classe do divisor excepcional através de relações algébricas específicas (por exemplo, propriedades de aniquilação e estruturas de núcleo de aplicações de multiplicação), eles reconstroem a álgebra graduada de $Z$ a partir de $X$.
   • Isso garante que qualquer obstáculo presente em $H^*(Z)$ persista em $H^*(X)$.

Principais Contribuições e Resultados

• Teorema 0.1: O artigo constrói uma variedade projetiva suave e simplesmente conexa $X$ sobre $\mathbb{F}_p$ tal que seu anel de cohomologia étale $H^*(X, \mathbb{Q}_\ell)$ não admite uma forma de $\mathbb{Q}$.
• Não Levantabilidade: Como consequência direta (via Lema 1.1), a variedade $X$ não admite um levantamento para a característica zero.
• Recuperação Intrínseca: Os autores provam que a configuração rotulada de subespaços que codifica a ação da álgebra de divisão de quatérnios pode ser recuperada apenas da estrutura da álgebra graduada abstrata da cohomologia, sem referência à construção geométrica.
• Contradição via Álgebras de Divisão: A prova de que nenhuma forma de $\mathbb{Q}$ existe baseia-se no fato de que, se tal forma existisse, a configuração recuperada definiria uma ação da álgebra de divisão de 4 dimensões $D$ sobre um espaço vetorial de $\mathbb{Q}$ de 2 dimensões, o que é impossível.

Significância
O artigo afirma fornecer o primeiro exemplo realizando o obstáculo topológico de Sullivan ao levantamento para a característica zero, o qual postula que o levantamento é obstaculizado se os dados de homotopia $\mathbb{Q}_\ell$ não descendem para $\mathbb{Q}$.

• Novidade do Obstáculo: Diferente de obstáculos anteriores que dependem de patologias geométricas (por exemplo, falha do vanishing de Kodaira ou comportamentos específicos de Frobenius), este obstáculo surge da própria estrutura do anel de cohomologia étale $\ell$-ádica.
• Relação com a Expectativa de Grothendieck: O resultado fornece uma resposta negativa a uma questão sobre a expectativa de Grothendieck de que o tipo de homotopia étale $\ell$-ádica de uma variedade suave e própria em característica $p$ deveria ser homotopicamente equivalente ao tipo de homotopia $\ell$-ádica de um complexo CW finito. A existência de uma variedade cujo anel de cohomologia não possui uma forma de $\mathbb{Q}$ implica uma diferença fundamental entre os tipos de homotopia em característica $p$ e característica 0.
• Comparação com Trabalhos Anteriores: Os autores distinguem seu trabalho de outros resultados de não levantabilidade (ex: Esnault-Srinivas-Stix, van Dobben de Bruyn) observando que seu exemplo é simplesmente conexo, enquanto exemplos anteriores baseados em topologia $\ell$-ádica dependiam de grupos fundamentais étale não triviais.

O artigo conclui que os anéis de cohomologia étale $\ell-ádica$ de variedades em características $p$ e $0$ possuem uma diferença essencial, demonstrando que o comportamento "bom" esperado desses anéis pode falhar de uma maneira que impede o levantamento.