Non-liftable varieties via etale cohomology rings

Resumen Técnico: Variedades no levantables mediante anillos de cohomología étale

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el problema de levantar variedades proyectivas suaves de característica positiva $p$ a la característica cero. Aunque se conocen diversos obstáculos para tales levantamientos (por ejemplo, aquellos derivados de acciones de grupos finitos, fallos en la teoría de Hodge o invariantes cohomológicos específicos como los números de Betti), los autores buscan un nuevo tipo de obstáculo basado intrínsecamente en la estructura de los anillos de cohomología étale $\ell$-ádica. Específicamente, investigan si el anillo de cohomología étale $H^*(X, \mathbb{Q}_\ell)$ de una variedad $X/\mathbb{F}_p$ puede definirse sobre $\mathbb{Q}$. Un álgebra graduada $\mathbb{Q}_\ell$ admite una forma $\mathbb{Q}$ si existe un $\mathbb{Q}$-álgebra graduada $R_\mathbb{Q}$ tal que $R_\mathbb{Q} \otimes_\mathbb{Q} \mathbb{Q}_\ell \cong R$. Los autores pretenden construir una variedad donde esta condición falle, proporcionando así un obstáculo topológico al levantamiento, según lo sugerido por Sullivan.

Metodología
La construcción procede en dos etapas principales, utilizando sopletes (blow-ups) para codificar estructuras algebraicas en el anillo de cohomología:

1. Construcción de la Variedad Auxiliar $Z$:

   • Los autores parten de una curva elíptica supersingular $E$ sobre $\mathbb{F}_p$. Su álgebra de endomorfismos racionales $D = \text{End}(E) \otimes \mathbb{Q}$ es una álgebra de división cuaterniónica de cuatro dimensiones sobre $\mathbb{Q}$.
   • Seleccionan generadores $\alpha, \beta \in \text{End}(E)$ y un conjunto de índices $I = \{\infty, 0, 1, \alpha, \beta\}$.
   • Dentro del tríade $Y = (E \times E) \times \mathbb{P}^1$, consideran las gráficas $\Gamma_\gamma$ de estos endomorfismos (y copias de las coordenadas).
   • Para asegurar la disjuntividad y una etiquetación distinta, eligen subconjuntos finitos y disjuntos entre sí $T_\gamma \subset \mathbb{P}^1$ con cardinalidades distintas $m_\gamma$.
   • Definen $Z$ como el soplete de $Y$ a lo largo de la unión disjunta de curvas $C_{\gamma, t} = \Gamma_\gamma \times \{t\}$.
   • Mecanismo Clave: Se demuestra que el anillo de cohomología $H^*(Z)$ recupera intrínsecamente una configuración etiquetada de subespacios en $H^1(Z) \cong V \oplus V$ (donde $V = H^1(E)$). Específicamente, el lóbulo de caída de rango (rank-drop locus) de los mapas de multiplicación identifica los divisores excepcionales correspondientes a cada $\gamma$, los cuales, a su vez, codifican los núcleos $K_\gamma$. Estos núcleos reconstruyen la acción del álgebra de división $D$ sobre un espacio vectorial de dos dimensiones.

2. Construcción de la Variedad Simplemente Conexa $X$:

   • Para satisfacer la condición de ser simplemente conexa (un requisito para el obstáculo topológico de Sullivan), los autores incrustan $Z$ en $\mathbb{P}^9_k$ y definen $X$ como el soplete de $\mathbb{P}^9_k$ a lo largo de $Z$.
   • Demuestran que el anillo de cohomología $H^*(X)$ permite la recuperación intrínseca de $H^*(Z)$. Mediante la identificación de la clase de hiperplano y la clase del divisor excepcional a través de relaciones algebraicas específicas (por ejemplo, propiedades de aniquilación y estructuras de núcleo), reconstruyen el álgebra graduada de $Z$ a partir de $X$.
   • Esto asegura que cualquier obstáculo presente en $H^*(Z)$ persista en $H^*(X)$.

Contribuciones Clave y Resultados

• Teorema 0.1: El artículo construye una variedad suave proyectiva simplemente conexa $X$ sobre $\mathbb{F}_p$ tal que su anillo de cohomología étale $H^*(X, \mathbb{Q}_\ell)$ no admite una forma $\mathbb{Q}$.
• No Levantabilidad: Como consecuencia directa (vía Lema 1.1), la variedad $X$ no admite un levantamiento a la característica cero.
• Recuperación Intrínseca: Los autores prueban que la configuración etiquetada de subespacios que codifica la acción del álgebra de división cuaterniónica puede recuperarse únicamente de la estructura del álgebra graduada de la cohomología, sin referencia a la construcción geométrica.
• Contradicción vía Álgebras de División: La prueba de que no existe una forma $\mathbb{Q}$ se basa en el hecho de que, si existiera tal forma, la configuración recuperada definiría una acción del álgebra de división $D$ de 4 dimensiones sobre un espacio vectorial $\mathbb{Q}$ de 2 dimensiones, lo cual es imposible.

Significancia
El artículo afirma proporcionar el primer ejemplo que realiza el obstáculo topológico de Sullivan al levantamiento a la característica cero, el cual postula que el levantamiento está obstaculizado si los datos de homotopía $\mathbb{Q}_\ell$ no descienden a $\mathbb{Q}$.

• Novedad del Obstáculo: A diferencia de otros obstáculos previos que dependen de patologías geométricas (por ejemplo, el fallo de la desaparición de Kodaira o comportamientos específicos de Frobenius), este obstáculo surge de la estructura intrínseca del propio anillo de cohomología $\ell$-ádica.
• Relación con la Expectativa de Grothendieck: El resultado proporciona una respuesta negativa a una pregunta sobre la expectativa de Grothendieck de que el tipo de homotopía étale $\ell$-completado de una variedad suave propia en característica $p$ debería ser homotópicamente equivalente al $\ell$-completado de un complejo CW finito. La existencia de una variedad cuyo anillo de cohomología no admite una forma $\mathbb{Q}$ implica una diferencia fundamental entre los tipos de homotopía en característica $p$ y característica 0.
• Comparación con Trabajos Previos: Los autores distinguen su trabajo de otros resultados de no levantabilidad (por ejemplo, Esnault-Srinivas-Stix, van Dobben de Bruyn) señalando que su ejemplo es simplemente conexo, mientras que los ejemplos anteriores basados en la topología $\ell$-ádica dependían de grupos fundamentales étale no triviales.

El artículo concluye que los anillos de cohomología étale $\ell$-ádica de las variedades en característica $p$ y 0 poseen una diferencia esencial, demostrando que el "buen" comportamiento esperado de estos anillos puede fallar de una manera que impide el levantamiento.