Quantum chaos and late-time equipartition of symmetry-resolved Krylov complexity

Sintesi Tecnica: Caos Quantistico e Equipartizione a Tempi Lunghi della Complessità di Krylov Risolta per Simmetria

Enunciato del Problema
La complessità di Krylov ($C_K$) è emersa come un diagnostico per la crescita degli operatori nei sistemi quantistici a molti corpi, tipicamente caratterizzata da una crescita esponenziale iniziale in sistemi caotici, seguita da un regime lineare e un eventuale saturazione. Tuttavia, l'interpretazione del valore di saturazione a tempi lunghi è complicata dalla presenza di simmetrie esatte. In sistemi in cui l'Hamiltoniana $H$ e l'operatore seme $O$ commutano con una carica conservata $P$, lo spazio di Hilbert si decompone in settori di simmetria indipendenti. Sebbene sia stabilito che a tempi brevi la complessità di Krylov totale sia correlata a una media pesata delle complessità risolte per simmetria (con pesi determinati dalla proiezione dell'operatore iniziale), la relazione tra la complessità totale e quella risolta a tempi lunghi (dopo la saturazione) rimaneva poco chiara. Una semplice aspettativa potrebbe suggerire che il valore di saturazione scala con il quadrato della dimensione totale dello spazio di Hilbert ($D^2$), ma la presenza di simmetrie potrebbe alterare tale scaling, potenzialmente oscurando il potere diagnostico di $C_K$ per il caos quantistico se non opportunamente risolta.

Metodologia
Gli autori utilizzano una combinazione di derivazione analitica e simulazione numerica per investigare il comportamento a tempi lunghi della complessità di Krylov risolta per simmetria in sistemi caotici a dimensione finita.

• Framework Analitico: Lo studio utilizza il formalismo dello spazio di Krylov generato dal superoperatore di Liouville $\mathcal{L} = [H, \cdot]$. Decomponendo lo spazio di Hilbert $\mathcal{H}$ in settori di simmetria con dimensioni $d_q$, gli autori analizzano la dimensione dello spazio di Krylov accessibile all'interno di ciascun settore ($K_q$) e lo spazio completo non risolto ($K$). Assumono che per Hamiltoniane genericamente caotiche le differenze di energia siano non degenere (eccetto per il modo zero universale) e che l'operatore seme abbia una sovrapposizione non nulla con tutte le frequenze di Liouville consentite dalla simmetria. Sotto queste ipotesi, derivano le dimensioni degli spazi di Krylov e applicano l'ipotesi di delocalizzazione a tempi lunghi, dove la funzione d'onda di Krylov diventa uniformemente distribuita sull'intera catena di Krylov accessibile.
• Implementazione Numerica: Gli autori implementano l'algoritmo di Lanczos (utilizzando l'iterazione di Arnoldi per la stabilità numerica) per calcolare la complessità di Krylov. Testano le loro previsioni analitiche su quattro modelli distinti:
  1. Modello SYK Reale: Un modello di fermioni di Majorana con simmetria di parità fermionica $Z_2$.
  2. Modello SYK Complesso: Un modello di fermioni complessi con conservazione della carica $U(1)$ globale.
  3. Modello di Spin Bosonico: Un modello di spin quadratico caotico con simmetrie $Z_2 \times Z_2$.
  4. Catena di Ising a Campo Misto: Una catena di spin non integrabile con simmetria di riflessione.
     Analizzano inoltre un limite integrabile della catena di Ising per contrastare i comportamenti caotici e integrabili.

Contributi Chiave e Risultati
Il lavoro stabilisce che nel regime di saturazione ($t_{sat} \lesssim t \ll t_{rec}$), la complessità di Krylov totale diventa additiva sui settori di simmetria:
$$C_K(t) \simeq \sum_q C_K^{(q)}(t)$$
Fondamentalmente, il contributo frazionario di ciascun settore non è determinato dai pesi di proiezione iniziali (come nel regime a tempi brevi) né da una ripartizione uguale, ma dalle dimensioni degli spazi operazionali dinamicamente accessibili. Nello specifico, la frazione di complessità a tempi lunghi è governata da:
$$\frac{C_K^{(q)}}{C_K} \simeq \frac{d_q(d_q - 1)}{\sum_{q'} d_{q'}(d_{q'} - 1)} \approx \frac{d_q^2}{\sum_{q'} d_{q'}^2}$$
dove $d_q$ è la dimensione dello spazio di Hilbert del settore $q$. Questo fenomeno è denominato equipartizione pesata sulla dimensione.

• Verifica Numerica:
  • Nel modello SYK reale ($N=16$), i due settori di parità hanno dimensioni uguali ($d_+ = d_-$), risultando in una divisione uguale ($50\%$) della complessità di saturazione, coerente con lo scaling $d_q^2$.
  • Nel modello SYK complesso ($N=7, 8$), i settori di carica hanno dimensioni disuguali ($d_q = \binom{N}{q}$). I risultati numerici mostrano che i settori con $d_q$ maggiore contribuiscono con una frazione maggiore alla complessità totale, seguendo precisamente la ponderazione $d_q^2$.
  • Il modello di spin bosonico ($N=6$) con quattro settori uguali conferma la divisione equa ($25\%$).
  • La catena di Ising a campo misto ($N=8$) presenta settori di riflessione con dimensioni disuguali ($d_+ = 136, d_- = 120$). I valori di saturazione deviano dal rapporto $50/50$ e invece corrispondono al rapporto predetto $d_+^2 / (d_+^2 + d_-^2) \approx 0.56$.
• Contrasto Integrabile: Nel limite integrabile della catena di Ising, gli autori dimostrano che le degenerazioni di Liouville e le regole di selezione riducono le vere dimensioni di Krylov ($K_q$) ben al di sotto dei limiti generici caotici ($d_q(d_q-1)+1$). Di conseguenza, la frazione di complessità a tempi lunghi satura secondo il rapporto delle vere dimensioni di Krylov $(K_q-1)/(K_{full}-1)$ piuttosto che lo scaling $d_q^2$, evidenziando come la regola della ponderazione sulla dimensione sia specifica per la dinamica caotica in cui lo spazio di Krylov è massimamente esplorato.

Significato
Il lavoro sostiene che la risoluzione delle simmetrie esatte è essenziale per interpretare correttamente il valore di saturazione della complessità di Krylov come diagnostico della crescita degli operatori caotici. Senza la risoluzione della simmetria, si potrebbe erroneamente assumere che la saturazione scali con il quadrato della dimensione totale dello spazio di Hilbert ($D^2$). Invece, gli autori mostrano che per i sistemi caotici la saturazione scala con la somma dei quadrati delle dimensioni dei settori ($\sum d_q^2$), che è parametricamente minore di $D^2$ se i settori di simmetria sono disuguali.

Il lavoro fornisce una "semplice relazione generica" tra le complessità di Krylov totale e risolta per simmetria nei sistemi caotici, distinguendo il regime a tempi lunghi (governato dalle dimensioni degli spazi operazionali accessibili) dal regime a tempi brevi (governato dalle proiezioni degli stati iniziali). Ciò chiarisce l'interpretazione della saturazione della complessità di Krylov, assicurando che il diagnostico rifletta la reale estensione della crescita degli operatori all'interno dei sottospazi dinamicamente accessibili piuttosto che essere oscurato da strutture a blocchi indotte dalla simmetria. Le scoperte suggeriscono che la risoluzione della simmetria agisce come un raffinamento del diagnostico di saturazione, offrendo una caratterizzazione più nitida della dinamica caotica.