Quantum chaos and late-time equipartition of symmetry-resolved Krylov complexity

Resumen Técnico: Caos Cuántico y Equipartición en Tiempos Tardíos de la Complejidad de Krylov Resuelta por Simetría

Planteamiento del Problema
La complejidad de Krylov ($C_K$) ha surgido como un diagnóstico para el crecimiento de operadores en sistemas de muchos cuerpos cuánticos, caracterizada típicamente por un crecimiento exponencial inicial en sistemas caóticos, seguido de un régimen lineal y una eventual saturación. Sin embargo, la interpretación del valor de saturación en tiempos tardíos se ve complicada por la presencia de simetrías exactas. En sistemas donde el Hamiltoniano $H$ y el operador semilla $O$ conmutan con una carga conservada $P$, el espacio de Hilbert se descompone en sectores de simetría independientes. Si bien se ha establecido que, en tiempos tempranos, la complejidad de Krylov completa se relaciona con un promedio ponderado de las complejidades resueltas por simetría (con pesos determinados por la proyección del operador inicial), la relación entre la complejidad completa y la resuelta en tiempos tardíos (después de la saturación) no estaba clara. Una expectativa simple podría sugerir que el valor de saturación escala con el cuadrado de la dimensión total del espacio de Hilbert ($D^2$), pero la presencia de simetrías podría alterar este escalamiento, potencialmente oscureciendo el poder diagnóstico de $C_K$ para el caos cuántico si no se resuelve adecuadamente.

Metodología
Los autores emplean una combinación de derivación analítica y simulación numérica para investigar el comportamiento en tiempos tardíos de la complejidad de Krylov resuelta por simetría en sistemas caóticos de dimensión finita.

• Marco Analítico: El estudio utiliza el formalismo del espacio de Krylov generado por el superoperador Liouvilliano $\mathcal{L} = [H, \cdot]$. Al descomponer el espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ en sectores de simetría con dimensiones $d_q$, los autores analizan la dimensión del espacio de Krylov accesible dentro de cada sector ($K_q$) y el espacio completo no resuelto ($K$). Asumen que para Hamiltonianos caóticos genéricos, las diferencias de energía son no degeneradas (excepto por el modo cero universal) y que el operador semilla tiene un solapamiento no nulo con todas las frecuencias Liouvillianas permitidas por la simetría. Bajo estas suposiciones, derivan las dimensiones de los espacios de Krylov y aplican la hipótesis de la deslocalización en tiempos tardíos, donde la función de onda de Krylov se distribuye uniformemente sobre la cadena de Krylov accesible.
• Implementación Numérica: Los autores implementan el algoritmo de Lanczos (usando la iteración de Arnoldi para estabilidad numérica) para computar la complejidad de Krylov. Prueban sus predicciones analíticas en cuatro modelos distintos:
  1. Modelo SYK Real: Un modelo de fermiones de Majorana con simetría de paridad de fermión $Z_2$.
  2. Modelo SYK Complejo: Un modelo de fermiones complejos con conservación de carga $U(1)$ global.
  3. Modelo de Espín Bosónico: Un modelo de espín cuadrático caótico con simetrías $Z_2 \times Z_2$.
  4. Cadena de Ising de Campo Mixto: Una cadena de espines no integrable con simetría de reflexión.
     También analizan un límite integrable del modelo de Ising para contrastar los comportamientos caóticos e integrables.

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo establece que en el régimen de saturación ($t_{sat} \lesssim t \ll t_{rec}$), la complejidad de Krylov completa se vuelve aditiva sobre los sectores de simetría:
$$C_K(t) \simeq \sum_q C_K^{(q)}(t)$$
Crucialmente, la contribución fraccional de cada sector no está determinada por los pesos de proyección inicial (como en el régimen de tiempo temprano) ni por un reparto equitativo, sino por las dimensiones de los espacios de operadores dinámicamente accesibles. Específicamente, la fracción de complejidad en tiempos tardíos está gobernada por:
$$\frac{C_K^{(q)}}{C_K} \simeq \frac{d_q(d_q - 1)}{\sum_{q'} d_{q'}(d_{q'} - 1)} \approx \frac{d_q^2}{\sum_{q'} d_{q'}^2}$$
donde $d_q$ es la dimensión del espacio de Hilbert del sector $q$. Este fenómeno se denomina equipartición ponderada por dimensión.

• Verificación Numérica:
  • En el modelo SYK Real ($N=16$), los dos sectores de paridad tienen dimensiones iguales ($d_+ = d_-$), lo que resulta en una división igual (50%) de la complejidad de saturación, consistente con el escalamiento $d_q^2$.
  • En el modelo SYK Complejo ($N=7, 8$), los sectores de carga tienen dimensiones desiguales ($d_q = \binom{N}{q}$). Los resultados numéricos muestran que los sectores con mayor $d_q$ contribuyen con una fracción mayor de la complejidad total, siguiendo precisamente la ponderación $d_q^2$.
  • El modelo de espín bosónico ($N=6$) con cuatro sectores iguales confirma la división equitativa (25%).
  • La cadena de Ising de campo mixto ($N=8$) presenta sectores de reflexión con dimensiones desiguales ($d_+ = 136, d_- = 120$). Los valores de saturación se desvían del 50/50 y, en su lugar, coinciden con la razón predicha $d_+^2 / (d_+^2 + d_-^2) \approx 0.56$.
• Contraste Integrable: En el límite integrable de la cadena de Ising, los autores demuestran que las degeneraciones Liouvillianas y las reglas de selección reducen las verdaderas dimensiones de Krylov ($K_q$) muy por debajo de los límites caóticos genéricos ($d_q(d_q-1)+1$). Consecuentemente, la fracción de la complejidad en tiempos tardíos satura según la razón de las verdaderas dimensiones de Krylov $(K_q-1)/(K_{full}-1)$ en lugar del escalamiento $d_q^2$, resaltando que la regla de ponderación por dimensión es específica para la dinámica caótica donde el espacio de Krylov es explorado al máximo.

Significado
El artículo argumenta que resolver las simetrías exactas es esencial para interpretar correctamente el valor de saturación de la complejidad de Krylov como un diagnóstico del crecimiento de operadores caóticos. Sin la resolución de simetrías, uno podría asumir incorrectamente que la saturación escala con el cuadrado de la dimensión total del espacio de Hilbert ($D^2$). En cambio, los autores muestran que para sistemas caóticos, la saturación escala con la suma de los cuadrados de las dimensiones de los sectores ($\sum d_q^2$), la cual es paramétricamente menor que $D^2$ si los sectores de simetría son desiguales.

El trabajo proporciona una "relación genérica simple" entre las complejidades de Krylov completas y resueltas por simetría en sistemas caóticos, distinguiendo el régimen de tiempos tardíos (gobernado por las dimensiones de los espacios de operadores accesibles) del régimen de tiempos tempranos (gobernado por las proyecciones de los estados iniciales). Esto clarifica la interpretación de la saturación de la complejidad de Krylov, asegurando que el diagnóstico refleje la verdadera extensión del crecimiento de operadores dentro de los subespacios dinámicamente accesibles en lugar de verse oscurecido por las estructuras de bloques inducidas por la simetría. Los hallazgos sugieren que la resolución de simetría actúa como un refinamiento del diagnóstico de saturación, ofreciendo una caracterización más aguda de la dinámica caótica.