Quantum chaos and late-time equipartition of symmetry-resolved Krylov complexity

Technische Samenvatting: Kwantumchaos en de Late-Tijd Equipartitie van Symmetrie-Geresolveerde Krylov-Complexiteit

Probleemstelling
Krylov-complexiteit ($C_K$) is naar voren gekomen als een diagnostisch instrument voor operatorgroei in kwantummany-body systemen, die doorgaans wordt gekenmerkt door een initiële exponentiële groei in chaotische systemen, gevolgd door een lineair regime en uiteindelijke verzadiging. Echter, de interpretatie van de verzadigingswaarde bij late tijden wordt bemoeilijkt door de aanwezigheid van exacte symmetrieën. In systemen waar de Hamiltoniaan $H$ en de initiële zaadoperator $O$ commuteren met een geconserveerde lading $P$, vervalt de Hilbertruimte in onafhankelijke symmetriesectoren. Hoewel het vaststaat dat de volledige Krylov-complexiteit op vroege tijden gerelateerd is aan een gewogen gemiddelde van de symmetrie-geresolveerde complexiteiten (waarbij de gewichten worden bepaald door de projectie van de initiële operator), bleef de relatie tussen de volledige en de geresolveerde complexiteiten bij late tijden (na verzadiging) onduidelijk. Een eenvoudige verwachting zou zijn dat de verzadigingswaarde schaalt met het kwadraat van de totale dimensie van de Hilbertruimte ($D^2$), maar de aanwezigheid van symmetrieën zou dit schaalgedrag kunnen veranderen, wat de diagnostische kracht van $C_K$ voor kwantumchaos zou kunnen vertroebelen als dit niet correct wordt opgelost.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van een combinatie van analytische afleiding en numerieke simulatie om het gedrag bij late tijden van de symmetrie-geresolveerde Krylov-complexiteit in eindige dimensionele chaotische systemen te onderzoeken.

• Analytisch Kader: De studie maakt gebruik van de Krylov-ruimte formalisering gegenereerd door de Liouvilliaanse superoperator $\mathcal{L} = [H, \cdot]$. Door de Hilbertruimte $\mathcal{H}$ te ontleden in symmetriesectoren $\mathcal{H}_q$ met dimensies $d_q$, analyseren de auteurs de dimensie van de toegankelijke Krylov-ruimte binnen elke sector ($K_q$) en de volledige onontlede ruimte ($K$). Zij nemen aan dat voor generieke chaotische Hamiltonia true energieverschillen niet-gedegenereerd zijn (behalve de universele nulmodus) en dat de zaadoperator een niet-nul overlap heeft met alle symmetrie-toegestane Liouvilliaanse frequenties. Onder deze aannames leiden zij de dimensies van de Krylov-ruimten af en passen zij de hypothese van late-tijd delokalisatie toe, waarbij de Krylov-golffunctie uniform verdeeld raakt over de toegankelijke Krylov-keten.
• Numerieke Implementatie: De auteurs implementeren het Lanczos-algoritme (met behulp van Arnoldi-iteratie voor numerieke stabiliteit) om de Krylov-complexiteit te berekenen. Zij testen hun analytische voorspellingen op vier verschillende modellen:
  1. Real SYK Model: Een model van Majorana-fermionen met een $Z_2$ fermion-pariteitssymmetrie.
  2. Complex SYK Model: Een model van complexe fermionen met globale $U(1)$ ladingbehoud.
  3. Bosonic Spin Model: Een chaotisch kwadratisch spinmodel met $Z_2 \times Z_2$ symmetrieën.
  4. Mixed-Field Ising Chain: Een niet-integreerbare spin-keten met reflectiesymmetrie.
     Zij analyseren ook een integraal limiet van de Ising-keten om chaotisch en integraal gedrag tegenover elkaar af te zetten.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten
De paper stelt vast dat in het verzadigingsregime ($t_{sat} \lesssim t \ll t_{rec}$) de volledige Krylov-complexiteit additief is over de symmetriesectoren:
$$C_K(t) \simeq \sum_q C_K^{(q)}(t)$$
Cruciaal is dat de fractionele bijdrage van elke sector niet wordt bepaald door de initiële projectiegewichten (zoals in het vroege-tijd regime) noch door gelijke verdeling, maar door de dimensies van de dynamisch toegankelijke operatorruimten. Specifiek wordt de fractionele complexiteit bij late tijden beheerst door:
$$\frac{C_K^{(q)}}{C_K} \simeq \frac{d_q(d_q - 1)}{\sum_{q'} d_{q'}(d_{q'} - 1)} \approx \frac{d_q^2}{\sum_{q'} d_{q'}^2}$$
waar $d_q$ de dimensie van de Hilbertruimte van sector $q$ is. Dit fenomeen wordt dimensie-gewogen equipartitie genoemd.

• Numerieke Verificatie:
  • In het Real SYK model ($N=16$) hebben de twee pariteitsectoren gelijke dimensies ($d_+ = d_-$), wat resulteert in een gelijke splitsing ($50\%$) van de verzadigingscomplexiteit, consistent met de $d_q^2$ schaling.
  • In het Complex SYK model ($N=7, 8$) hebben de ladingsectoren ongelijke dimensies ($d_q = \binom{N}{q}$). De numerieke resultaten laten zien dat sectoren met grotere $d_q$ een groter deel van de totale complexiteit bijdragen, precies volgens de $d_q^2$ weging.
  • Het Bosonic spin model ($N=6$) met vier gelijke sectoren bevestigt de gelijke splitsing ($25\%$).
  • De Mixed-Field Ising chain ($N=8$) vertoont reflectiesectoren met ongelijke dimensies ($d_+ = 136, d_- = 120$). De verzadigingswaarden wijken af van $50/50$ en komen in plaats daarvan overeen met de voorspelde ratio $d_+^2 / (d_+^2 + d_-^2) \approx 0,56$.
• Integraal Contrast: In het integrale limiet van de Ising-keten demonstreren de auteurs dat Liouvilliaanse degeneraties en selectieregels de werkelijke Krylov-dimensies ($K_q$) ver onder de generieke chaotische grenzen ($d_q(d_q-1)+1$) reduceren. Bijgevolg verzadigt de fractionele complexiteit bij late tijden volgens de ratio van de werkelijke Krylov-dimensies $(K_q-1)/(K_{full}-1)$ in plaats van de $d_q^2$ schaling, wat benadrukt dat de dimensie-gewogen regel specifiek is voor chaotische dynamica waarbij de Krylov-ruimte maximaal wordt verkend.

Betekenis
De paper betoogt dat het oplossen van exacte symmetrieën essentieel is voor de correcte interpretatie van de verzadigingswaarde van de Krylov-complexiteit als een diagnostisch middel voor chaotische operatorgroei. Zonder symmetrie-resolutie zou men onterecht kunnen aannemen dat de verzadiging schaalt met het kwadraat van de totale Hilbert-dimensie ($D^2$). In plaats daarvan tonen de auteurs aan dat voor chaotische systemen de verzadiging schaalt met de som van de kwadraten van de sector-dimensies ($\sum d_q^2$), wat parametrisch kleiner is dan $D^2$ indien de symmetriesectoren ongelijk zijn.

Het werk biedt een "eenvoudige generieke relatie" tussen volledige en symmetrie-geresolveerde Krylov-complexiteiten in chaotische systemen, waarbij onderscheid wordt gemaakt tussen het regime bij late tijden (beheerst door de dimensies van toegankelijke operatorruimten) en het vroege-tijd regime (beheerst door initiële staat-projecties). Dit verheldert de interpretatie van de verzadiging van de Krylov-complexiteit, waardoor het veiligstelt dat het diagnostische middel de werkelijke omvang van de operatorgroei binnen de dynamisch toegankelijke subruimten reflecteert, in plaats van te worden vertroebeld door symmetrie-geïnduceerde blokstructuren. De bevindingen suggereren dat symmetrie-resolutie fungeert als een verfijning van de verzadigingsdiagnostiek, wat een scherpere karakterisering van chaotische dynamica biedt.