Quantum chaos and late-time equipartition of symmetry-resolved Krylov complexity

Résumé technique : Chaos quantique et équipartition à temps long de la complexité de Krylov résolue par symétrie

Énoncé du problème
La complexité de Krylov ($C_K$) est apparue comme un diagnostic de la croissance des opérateurs dans les systèmes à plusieurs corps quantiques, caractérisée typiquement par une croissance exponentielle initiale dans les systèmes chaotiques, suivie d'un régime linéaire et d'une saturation finale. Cependant, l'interprétation de la valeur de saturation à temps long est compliquée par la présence de symétries exactes. Dans les systèmes où le hamiltonien $H$ et l'opérateur germe $O$ commutent avec une charge conservée $P$, l'espace de Hilbert se décompose en secteurs de symétrie indépendants. S'il est établi qu'à des temps précoces, la complexité de Krylov totale est liée à une moyenne pondérée des complexités résolues par symétrie (les poids étant déterminés par la projection de l'opérateur initial), la relation entre la complexité totale et les complexités résolues à temps long (après la saturation) restait incertaine. Une simple attente suggérerait que la valeur de saturation suit une loi d'échelle avec le carré de la dimension totale de l'espace de Hilbert ($D^2$), mais la présence de symétries pourrait modifier cette mise à l'échelle, potentiellement en obscurcissant le pouvoir de diagnostic de $C_K$ pour le chaos quantique si elle n'est pas correctement résolue.

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison de dérivation analytique et de simulation numérique pour étudier le comportement à temps long de la complexité de Krylov résolue par symétrie dans des systèmes chaotiques de dimension finie.

• Cadre analytique : L'étude utilise le formalisme de l'espace de Krylov généré par le super-opérateur de Liouville $\mathcal{L} = [H, \cdot]$. En décomposant l'espace de Hilbert $\mathcal{H}$ en secteurs de symétrie $\mathcal{H}_q$ de dimensions $d_q$, les auteurs analysent la dimension de l'espace de Krylov accessible au sein de chaque secteur ($K_q$) et de l'espace complet non résolu ($K$). Ils supposent que pour des hamiltoniens chaotiques génériques, les différences d'énergie sont non dégénérées (excepté pour le mode zéro universel) et que l'opérateur germe possède un recouvrement non nul avec toutes les fréquences de Liouville autorisées par la symétrie. Sous ces hypothèses, ils dérivent les dimensions des espaces de Krylov et appliquent l'hypothèse de délocalisation à temps long, où la fonction d'onde de Krylov devient uniformément distribuée sur la chaîne de Krylov accessible.
• Implémentation numérique : Les auteurs implémentent l'algorithme de Lanczos (utilisant l'itération d'Arnoldi pour la stabilité numérique) pour calculer la complexité de Krylov. Ils testent leurs prédictions analytiques sur quatre modèles distincts :
  1. Modèle SYK Réel : Un modèle de fermions de Majorana avec une symétrie de parité de fermion $Z_2$.
  2. Modèle SYK Complexe : Un modèle de fermions complexes avec une conservation de la charge $U(1)$ globale.
  3. Modèle de Spin Bosonique : Un modèle de spin quadratique chaotique avec des symétries $Z_2 \times Z_2$.
  4. Chaîne d'Ising à champs mixtes : Une chaîne de spins non intégrable avec une symétrie de réflexion.
     Ils analysent également une limite intégrable de la chaîne d'Ising pour contraster les comportements chaotiques et intégrables.

Contributions clés et résultats
L'article établit qu'au régime de saturation ($t_{sat} \lesssim t \ll t_{rec}$), la complexité de Krylov totale devient additive sur les secteurs de symétrie :
$$C_K(t) \simeq \sum_q C_K^{(q)}(t)$$
Crucialement, la contribution fractionnaire de chaque secteur n'est pas déterminée par les poids de projection initiaux (comme dans le régime de temps précoce) ni par un partage égal, mais par les dimensions des espaces d'opérateurs dynamiquement accessibles. Plus précisément, la fraction de complexité à temps long est gouvernée par :
$$\frac{C_K^{(q)}}{C_K} \simeq \frac{d_q(d_q - 1)}{\sum_{q'} d_{q'}(d_{q'} - 1)} \approx \frac{d_q^2}{\sum_{q'} d_{q'}^2}$$
où $d_q$ est la dimension de l'espace de Hilbert du secteur $q$. Ce phénomène est nommé équipartition pondérée par la dimension.

• Vérification numérique :
  • Dans le modèle SYK Réel ($N=16$), les deux secteurs de parité ont des dimensions égales ($d_+ = d_-$), ce qui entraîne une division égale ($50\%$) de la complexité de saturation, cohérent avec la mise à l'échelle en $d_q^2$.
  • Dans le modèle SYK Complexe ($N=7, 8$), les secteurs de charge ont des dimensions inégales ($d_q = \binom{N}{q}$). Les résultats numériques montrent que les secteurs avec de plus grandes $d_q$ contribuent une fraction plus importante de la complexité totale, suivant précisément la pondération $d_q^2$.
  • Le modèle de Spin Bosonique ($N=6$) avec quatre secteurs égaux confirme la division égale ($25\%$).
  • La chaîne d'Ising à champs mixtes ($N=8$) présente des secteurs de réflexion aux dimensions inégales ($d_+ = 136, d_- = 120$). Les valeurs de saturation s'écartent du ratio $50/50$ et correspondent plutôt au ratio prédit $d_+^2 / (d_+^2 + d_-^2) \approx 0,56$.
• Contraste Intégrable : Dans la limite intégrable de la chaîne d'Ising, les auteurs démontrent que les dégénérescences de Liouville et les règles de sélection réduisent les véritables dimensions de Krylov ($K_q$) bien en dessous des limites chaotiques génériques ($d_q(d_q-1)+1$). Par conséquent, la fraction de complexité à temps long sature selon le ratio des véritables dimensions de Krylov $(K_q-1)/(K_{full}-1)$ plutôt que selon la mise à l'échelle en $d_q^2$, soulignant que la règle de pondération par la dimension est spécifique à la dynamique chaotique où l'espace de Krylov est exploré de manière maximale.

Signification
L'article soutient que la résolution des symétries exactes est essentielle pour interpréter correctement la valeur de saturation de la complexité de Krylov comme un diagnostic de la croissance chaotique des opérateurs. Sans résolution par symétrie, on pourrait supposer à tort que la saturation suit une loi d'échelle avec le carré de la dimension totale de l'espace de Hilbert ($D^2$). Au lieu de cela, les auteurs montrent que pour les systèmes chaotiques, la saturation suit la somme des carrés des dimensions des secteurs ($\sum d_q^2$), ce qui est paramétriquement plus petit que $D^2$ si les secteurs de symétrie sont inégaux.

Ce travail fournit une « relation générique simple » entre les complexités de Krylov totales et résolues par symétrie dans les systèmes chaotiques, distinguant le régime de temps long (gouverné par les dimensions des espaces d'opérateurs accessibles) du régime de temps précoce (gouverné par les projections d'états initiaux). Cela clarifie l'interprétation de la saturation de la complexité de Krylov, garantissant que le diagnostic reflète la véritable étendue de la croissance des opérateurs au sein des sous-espaces dynamiquement accessibles plutôt que d'être obscurci par des structures de blocs induites par la symétrie. Les conclusions suggèrent que la résolution par symétrie agit comme un raffinement du diagnostic de saturation, offrant une caractérisation plus fine de la dynamique chaotique.