Ribet Points, geometric divisibility sequence and order of reductions on semiabelian varieties

Sintesi Tecnica: Punti di Ribet, Sequenze di Divisibilità Geometrica e Ordine di Riduzione su Varietà Semiabele

Enunciato del Problema
Il saggio affronta un problema aperto di lunga data riguardante il comportamento delle sequenze di divisibilità geometrica associate a punti Zariski-densi su gruppi algebrici commutativi irriducibili di dimensione almeno due. Nello specifico, si investiga la Congettura 1.2 di Silverman, la quale postula che per uno schema di gruppo $G/\mathbb{Z}$ il cui fibra generica $G_{\mathbb{Q}}$ sia un gruppo algebrico commutativo irriducibile di dimensione $\ge 2$ privo di parte unipotente, e per un punto $P \in G(\mathbb{Z})$ con un orbita ciclica Zariski-densa, l'uguaglianza $D_{nP} = D_P$ (dove $D_P$ è l'ideale del denominatore) si verifichi per infiniti interi positivi $n$.

Questa congettura si trova in tensione logica con il Teorema Silverman–Cheon–Hahn (Teorema 1.1), il quale stabilisce che per le curve ellittiche (dimensione 1), ogni intero sufficientemente grande appare come l'ordine esatto di riduzione per qualche primo. Mentre il caso di dimensione uno è completo, il comportamento in dimensioni superiori, in particolare per le varietà semiabeli, era ignoto. Il saggio mira a determinare se l'analogo del teorema Silverman–Cheon–Hahn valga per varietà semiabeli di dimensione superiore o se si verifichi l'esatta ricorrenza predetta dalla congettura di Silverman.

Metodologia
L'autore costruisce esempi incondizionati di varietà semiabeli geometricamente non spaccate (nonsplit) su campi numerici dove la sequenza di divisibilità geometrica ritorna al suo valore iniziale infinitamente spesso. La metodologia si basa sulle proprietà aritmetiche dei punti di Ribet su estensioni di varietà abeli da $\mathbb{G}_m$.

1. Configurazione Geometrica: Il saggio considera una varietà semiabile $G_q$ definita da un'estensione $1 \to \mathbb{G}_m \to G_q \to A \to 0$, rappresentata da un punto $q \in A^\vee(K)$.
2. Sezioni di Ribet: Utilizzando la biextensione di Poincaré normalizzata, l'autore definisce un punto di Ribet $R_\beta(q) \in G_q(K)$ associato a un omomorfismo $\beta: A^\vee \to A$. La parte antisimmetrica $\delta = \beta - \hat{\beta}$ gioca un ruolo cruciale.
3. Traslazione per Torsione: La costruzione centrale prevede la traslazione del punto di Ribet per un punto di torsione fisso $t$ nel nucleo torico: $P = R_\beta(q) + \iota(t)$.
4. Amplificazione Aritmetica: Un lemma tecnico chiave (Lemma 3.3) dimostra che se l'ordine del punto di Ribet è quadraticamente limitato dall'ordine della sua proiezione (una proprietà derivata dalla pairing di Weil), allora la traslazione per un punto di torsione impone una specifica condizione di divisibilità sull'ordine del punto risultante $P$.
5. Argomento Locale-Globale: Combinando l'amplificazione del gruppo finito con le proprietà degli ideali dei denominatori sui modelli di Néron, l'autore dimostra che per un intero specifico $N_{\delta, t}$, l'ordine di riduzione $d_v(P)$ è divisibile per $N_{\delta, t}$ per quasi tutti i luoghi $v$.
6. Discesa: Per ottenere esempi su $\mathbb{Q}$, il saggio impiega una tecnica di discesa quadratica (Teorema 4.3). Ciò comporta la costruzione dell'estensione su un campo quadratico $L$ dove esistono gli endomorfismi antisimmetrici necessari, e poi la discesa dell'estensione e del punto su $\mathbb{Q}$ accoppiando l'azione di Galois sull'endomorfismo con il carattere segno di un toro di norma uno.

Contributi Chiave e Risultati

• Esempi Incondizionati: Il saggio fornisce i primi esempi incondizionati di varietà semiabeli geometricamente non spaccate su campi numerici dove la sequenza di divisibilità geometrica ritorna al suo valore iniziale infinitamente spesso.
• Teorema 1.4 (Costruzione Generale): Per una varietà abela positiva, un omomorfismo $\beta$ tale che $\delta = \beta - \hat{\beta}$ sia un isogenia, e un punto di torsione $t$, il punto $P = R_\beta(q) + \iota(t)$ ha la proprietà che un intero specifico $N_{\delta, t}$ divide l'ordine di riduzione $d_v(P)$ per quasi tutti i luoghi. Di conseguenza, se $(n, Q) = 1$ per un intero privo di quadrati $Q$ divisibile per il radicale di $N_{\delta, t}$, allora l'ideale del denominatore soddisfa $\mathfrak{d}_{\mathbb{N}}(nP) = \mathfrak{d}_{\mathbb{N}}(P)$.
• Teorema 1.5 (Superficie su $\mathbb{Q}$): L'autore costruisce esplicitamente una superficie semiabile geometricamente non spaccata $G_{surf}/\mathbb{Q}$ (un'estensione di una curva ellittica $E: y^2 = x^3 - 2$ per il toro norma-uno $R^1_{L/\mathbb{Q}}\mathbb{G}_m$ con $L=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$) e un punto $P_{surf} \in G_{surf}(\mathbb{Q})$ con un orbita ciclica Zariski-densa. Per questo punto, il divisore di riduzione finale è $U(P_{surf}) = 2$. Ciò implica che, per ogni $n$ coprimo con un intero fissato, $D_{nP_{surf}} = D_{P_{surf}}$.
• Teorema 4.9 (Trifolde su $\mathbb{Q}$): Viene costruita una trifolde semiabile geometricamente non spaccata su $\mathbb{Q}$ utilizzando la curva ellittica $E: y^2 + y = x^3 + x^2 - 2x$ (conduttore 389). Il punto risultante $P$ soddisfa $D_P = 1$ e $U(P) = 2$, confermando le condizioni della congettura per una trifolde.
• Generalità Dimensionale: Il Teorema 4.16 estende questi risultati a ogni dimensione $d \ge 2$ su $\mathbb{Q}$ mediante prodotti con tori spaccati, mostrando che il fenomeno non è limitato alle basse dimensioni.
• Risultati di Densità: Il saggio stabilisce che l'insieme degli indici $n$ per cui $D_{nP} = D_P$ ha una densità naturale inferiore di almeno $1 - 1/N_{\delta, t}$. Al contrario, l'insieme degli ordini di riduzione esatti (indici di divisori primitivi) ha una densità superiore di al massimo $1/N_{\delta, t}$.

Significato e Rivendicazioni
Il saggio dimostra che l'analogo del teorema Silverman–Cheon–Hahn fallisce drasticamente nella categoria delle varietà semiabeli, fornendo contemporaneamente esempi espliciti in cui la congettura 1.2 di Silverman è soddisfatta. Nello specifico:

1. Fallimento della Realizzazione dell'Ordine Esatto: Diversamente dal caso delle curve ellittiche, esistono punti densi su varietà semiabeli dove l'insieme degli ordini di riduzione esatti è rado (densità $\le 1/N$), il che significa che molti interi non appaiono mai come ordini esatti di riduzione.
2. Validazione della Congettura di Silverman per Casi Specifici: I punti costruiti soddisfano le condizioni della Congettura 1.2 di Silverman, provando che il fenomeno dell' "esatto ritorno" ($D_{nP} = D_P$) avviene infinitamente spesso e, di fatto, per un insieme di indici con densità positiva. Il saggio nota che, sebbene la congettura rimanga aperta nella sua piena generalità sui campi numerici, questi esempi forniscono la prima verifica incondizionata per le varietà semiabeli geometricamente non spaccate.
3. Ruolo dei Punti di Ribet: Il lavoro evidenzia come le sezioni di Ribet (specificamente le loro versioni traslate per torsione) agiscano come l'ostacolo all'esistenza di divisori primitivi per tutti i grandi $n$. Questo contrasta con le varietà semiabeli spaccate (prodotti di varietà abeli e tori), dove il teorema di Perucca implica che il numero di componenti dell'orbita chiusa determina il divisore universale, che è 1 per le orbite connesse.
4. Nonsplitting Geometrico: Il fenomeno è intrinsecamente legato alle estensioni geometricamente non spaccate. Il saggio osserva che per i prodotti spaccati, il numero di componenti dell'orbita chiusa è uguale al massimo intero che divide quasi ogni ordine di riduzione, impedendo la costruzione di tali insiemi di "ordini mancanti". La natura non spaccata dell'estensione, combinata con l'aritmetica specifica del punto di Ribet, permette al divisore di riduzione finale $U(P)$ di essere strettamente maggiore di 1 (ad esempio, $U(P)=2$), anche quando l'orbita chiusa è connessa.

Il saggio conclude che il "dato mancante" (il divisore universale degli ordini di riduzione) è genuinamente misto, trasportato dalla classe di estensione, dal sollevamento della biextensione e dalla traslazione per torsione, e che tale comportamento è assente nelle varietà abeli pure o nei prodotti spaccati.