Ribet Points, geometric divisibility sequence and order of reductions on semiabelian varieties

Résumé technique : Points de Ribet, séquences de divisibilité géométriques et ordre des réductions sur les variétés semi-abéliennes

Énoncé du problème
L'article traite d'un problème ouvert de longue date concernant le comportement des séquences de divisibilité géométriques attachées à des points de densité de Zariski sur des groupes algébriques commutatifs irréductibles de dimension au moins deux. Plus précisément, il étudie la Conjecture 1.2 de Silverman, qui postule que pour un schéma en groupe $G/\mathbb{Z}$ dont la fibre générique $G_{\mathbb{Q}}$ est un groupe algébrique commutatif irréductible de dimension $\ge 2$ sans partie unipotente, et pour un point $P \in G(\mathbb{Z})$ possédant une orbite cyclique de densité de Zariski, l'égalité $D_{nP} = D_P$ (où $D_P$ est l'idéal dénominateur) est vérifiée pour une infinité d'entiers positifs $n$.

Cette conjecture se trouve en tension logique avec le Théorème Silverman–Cheon–Hahn (Théorème 1.1), qui établit que pour les courbes elliptiques (dimension 1), tout entier suffisamment grand apparaît comme l'ordre exact de réduction pour une certaine place. Si le cas de dimension un est complet, le comportement dans les dimensions supérieures, particulièrement pour les variétés semi-abéliennes, était inconnu. L'article cherche à déterminer si l'analogue du théorème de Silverman–Cheon–Hahn est valable pour les variétés semi-abéliennes de dimension supérieure ou si la récurrence exacte prédite par la conjecture de Silverman se produit.

Méthodologie
L'auteur construit des exemples inconditionnels de variétés semi-abéliennes géométriquement non scindées sur des corps de nombres où la séquence de divisibilité géométrique revient à sa valeur initiale de façon infinie. La méthodologie repose sur les propriétés arithmétiques des points de Ribet sur des extensions de variétés abéliennes par le groupe multiplicatif $\mathbb{G}_m$.

1. Configuration géométrique : L'article considère une variété semi-abélienne $G_q$ définie par une extension $1 \to \mathbb{G}_m \to G_q \to A \to 0$, représentée par un point $q \in A^\vee(K)$.
2. Sections de Ribet : En utilisant la biextension de Poincaré normalisée, l'auteur définit un point de Ribet $R_\beta(q) \in G_q(K)$ associé à un homomorphisme $\beta: A^\vee \to A$. La partie antisymétrique $\delta = \beta - \hat{\beta}$ joue un rôle crucial.
3. Translation par torsion : La construction centrale implique la translation du point de Ribet par un point de torsion fixe $t$ dans le noyau toroïdal : $P = R_\beta(q) + \iota(t)$.
4. Amplification arithmétique : Un lemme technique clé (Lemme 3.3) démontre que si l'ordre du point de Ribet est de croissance quadratique par rapport à l'ordre de sa projection (une propriété dérivée du couplage de Weil), alors la translation par un point de torsion impose une condition de divisibilité spécifique sur l'ordre du point résultant $P$.
5. Argument local-global : En combinant l'amplification par groupe fini avec les propriétés des idéaux dénominateurs sur les modèles de Néron, l'auteur prouve que pour un entier spécifique $N_{\delta, t}$, l'ordre de réduction $d_v(P)$ est divisible par $N_{\delta, t}$ pour presque toutes les places $v$.
6. Descente : Pour obtenir des exemples sur $\mathbb{Q}$, l'article emploie une technique de descente quadratique (Théorème 4.3). Cela consiste à construire l'extension sur un corps quadratique $L$ où les endomorphismes antisymétriques nécessaires existent, puis à descendre l'extension et le point vers $\mathbb{Q}$ en couplant l'action de Galois sur l'endomorphisme avec le caractère de signe d'un tore de norme un.

Contributions clés et résultats

• Exemples inconditionnels : L'article fournit les premiers exemples inconditionnels de variétés semi-abéliennes géométriquement non scindées sur des corps de nombres où la séquence de divisibilité géométrique revient à sa valeur initiale de façon infinie.
• Théorème 1.4 (Construction générale) : Pour une variété abélienne de dimension positive, un homomorphisme $\beta$ tel que $\delta = \beta - \hat{\beta}$ est un isogénie, et un point de torsion $t$, le point $P = R_\beta(q) + \iota(t)$ possède la propriété qu'un entier spécifique $N_{\delta, t}$ divise l'ordre de réduction $d_v(P)$ pour presque toutes les places. Par conséquent, si $(n, Q) = 1$ pour un entier sans facteur carré $Q$ divisible par le radical de $N_{\delta, t}$, alors l'idéal dénominateur satisfait $\mathfrak{d}_{\mathbb{N}}(nP) = \mathfrak{d}_{\mathbb{N}}(P)$.
• Théorème 1.5 (Surface sur $\mathbb{Q}$) : L'auteur construit explicitement une surface semi-abélienne géométriquement non scendée $G_{surf}/\mathbb{Q}$ (une extension d'une courbe elliptique $E: y^2 = x^3 - 2$ par le tore de norme un $R^1_{L/\mathbb{Q}}\mathbb{G}_m$ avec $L=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$) et un point $P_{surf} \in G_{surf}(\mathbb{Q})$ possédant une orbite cyclique de densité de Zariski. Pour ce point, le diviseur de réduction éventuel est $U(P_{surf}) = 2$. Cela implique que pour tout $n$ premier à un entier fixé, $D_{nP_{surf}} = D_{P_{surf}}$.
• Théorème 4.9 (Trio sur $\mathbb{Q}$) : Un trièdre semi-abélien géométriquement non scindé sur $\mathbb{Q}$ est construit en utilisant la courbe elliptique $E: y^2 + y = x^3 + x^2 - 2x$ (conducteur 389). Le point $P$ résultant satisfait $D_P = 1$ et $U(P) = 2$, confirmant les conditions de la conjecture pour un trièdre.
• Généralité dimensionnelle : Le théorème 4.16 étend ces résultats à chaque dimension $d \ge 2$ sur $\mathbb{Q}$ en prenant des produits avec des tori scindés, montrant que le phénomène n'est pas restreint aux basses dimensions.
• Résultats de densité : L'article établit que l'ensemble des indices $n$ pour lesquels $D_{nP} = D_P$ a une densité naturelle inférieure d'au moins $1 - 1/N_{\delta, t}$. Inversement, l'ensemble des ordres de réduction exacts (indices de diviseurs primitifs) a une densité supérieure d'au plus $1/N_{\delta, t}$.

Signification et affirmations
L'article démontre que l'analogue du théorème de Silverman–Cheon–Hahn échoue radicalement dans la catégorie des variétés semi-abéliennes, tout en construisant explicitement des instances où la conjecture 1.2 de Silverman est vérifiée. Spécifiquement :

1. Échec de la réalisation de l'ordre exact : Contrairement au cas des courbes elliptiques, il existe des points denses sur les variétés semi-abéliennes où l'ensemble des ordres de réduction exacts est épars (densité $\le 1/N$), ce qui signifie que de nombreux entiers n'apparaissent jamais comme ordres de réduction exacts.
2. Validation de la conjecture de Silverman pour des instances spécifiques : Les points construits satisfont les conditions de la conjecture 1.2 de Silverman, prouvant que le phénomène de « retour exact » ($D_{nP} = D_P$) se produit de façon infinie et, de fait, pour un ensemble d'indices de densité positive. L'article note que bien que la conjecture reste ouverte dans toute sa généralité sur les corps de nombres, ces exemples constituent la première vérification inconditionnelle pour les variétés semi-abéliennes géométriquement non scindées.
3. Rôle des points de Ribet : Le travail souligne que les sections de Ribet (plus précisément leurs versions décalées par torsion) agissent comme l'obstacle à l'existence de diviseurs primitifs pour tout grand $n$. Cela contraste avec les variétés semi-abéliennes scindées (produits de variétés abéliennes et de tores), où le théorème de Perucca implique que le nombre de composantes de l'adhérence de l'orbite dicte le diviseur universel, lequel est 1 pour les points connexes denses.
4. Non-scindement géométrique : Le phénomène est intrinsèquement lié aux extensions géométriquement non scindées. L'article note que pour les produits scindés, le nombre de composantes de l'adhérence de l'orbite est égal au plus grand entier divisant presque tout ordre de réduction, ce qui empêche la construction de tels ensembles de « valeurs manquantes ». La nature non scindée de l'extension, combinée à l'arithmétique spécifique du point de Ribet, permet au diviseur de réduction éventuel $U(P)$ d'être strictement supérieur à 1 (par exemple, $U(P)=2$), même lorsque l'adhérence de l'orbite est connexe.

L'article conclut que la « donnée manquante » (le diviseur universel des ordres de réduction) est véritablement mixte, portée par la classe d'extension, le relèvement de la biextension et la translation par torsion, et que ce comportement est absent des variétés abéliennes pures ou des produits scindés.