Ribet Points, geometric divisibility sequence and order of reductions on semiabelian varieties

Resumen Técnico: Puntos de Ribet, Sucesiones de Divisibilidad Geométrica y Orden de Reducciones en Variedades Semiabelianas

Planteamiento del Problema
El artículo aborda un problema abierto de larga data relacionado con el comportamiento de las sucesiones de divisibilidad geométrica asociadas a puntos densos en el sentido de Zariski en grupos algebraicos conmutativos irreducibles de dimensión al menos dos. Específicamente, investiga la Conjetura 1.2 de Silverman, la cual postula que para un esquema de grupo $G/\mathbb{Z}$ cuyo fibra genérica $G_{\mathbb{Q}}$ es un grupo algebraico conmutativo irreducible de dimensión $\ge 2$ sin parte unipotente, y para un punto $P \in G(\mathbb{Z})$ con una órbita cíclica densa en el sentido de Zariski, la igualdad $D_{nP} = D_P$ (donde $D_P$ es el ideal denominador) se cumple para infinitos enteros positivos $n$.

Esta conjetura se encuentra en tensión lógica con el Teorema de Silverman–Cheon–Hahn (Teorema 1.1), el cual establece que para curvas elípticas (dimensión 1), todo entero suficientemente grande aparece como el orden exacto de reducción para algún primo. Mientras que el caso de dimensión uno está completo, el comportamiento en dimensiones superiores, particularmente para variedades semiabelianas, era desconocido. El artículo busca determinar si el análogo del teorema de Silverman–Cheon–Hahn se cumple para variedades semiabelianas de dimensión superior o si ocurre la recurrencia exacta predicha por la conjetura de Silverman.

Metodología
El autor construye ejemplos incondicionales de variedades semiabelianas geométricamente no partidas sobre cuerpos numéricos donde la sucesión de divisibilidad geométrica regresa a su valor inicial infinitas veces. La metodología se basa en las propiedades aritméticas de los puntos de Ribet en extensiones de variedades abelianas por el grupo multiplicativo $\mathbb{G}_m$.

1. Configuración Geométrica: El artículo considera una variedad semiabeliana $G_q$ definida por una extensión $1 \to \mathbb{G}_m \to G_q \to A \to 0$, representada por un punto $q \in A^\vee(K)$.
2. Secciones de Ribet: Utilizando la biextensión de Poincaré normalizada, el autor define un punto de Ribet $R_\beta(q) \in G_q(K)$ asociado a un homomorfismo $\beta: A^\vee \to A$. La parte antisimétrica $\delta = \beta - \hat{\beta}$ juega un papel crucial.
3. Traslación por Torsión: La construcción central involucra la traslación del punto de Ribet por un punto de torsión fijo $t$ en el núcleo tórico: $P = R_\beta(q) + \iota(t)$.
4. Amplificación Aritmética: Un lema técnico clave (Lema 3.3) demuestra que si el orden del punto de Ribet está acotado cuadráticamente por el orden de su proyección (una propiedad derivada de la pairing de Weil), entonces la traslación por un punto de torsión fuerza una condición de divisibilidad específica sobre el orden del punto resultante $P$.
5. Argumento Local-a-Global: Al combinar la amplificación de grupos finitos con las propiedades de los ideales denominadores en modelos de Néron, el autor demuestra que para un entero específico $N_{\delta, t}$, el orden de reducción $d_v(P)$ es divisible por $N_{\delta, t}$ para casi todos los lugares $v$.
6. Descenso: Para obtener ejemplos sobre $\mathbb{Q}$, el artículo emplea una técnica de descenso cuadrático (Teorema 4.3). Esto implica construir la extensión sobre un cuerpo cuadrático $L$ donde existen los endomorfismos antisimétricos necesarios, y luego descender la extensión y el punto a $\mathbb{Q}$ emparejando la acción de Galois sobre el endomorfismo con el carácter de signo de un toro de norma uno.

Contribuciones Clave y Resultados

• Ejemplos Incondicionales: El artículo proporciona los primeros ejemplos incondicionales de variedades semiabelianas geométricamente no partidas sobre cuerpos numéricos donde la sucesión de divisibilidad geométrica regresa a su valor inicial infinitas veces.
• Teorema 1.4 (Construcción General): Para una variedad abeliana de dimensión positiva, un homomorfismo $\beta$ tal que $\delta = \beta - \hat{\beta}$ es una isogenia, y un punto de torsión $t$, el punto $P = R_\beta(q) + \iota(t)$ tiene la propiedad de que un entero específico $N_{\delta, t}$ divide el orden de reducción $d_v(P)$ para casi todos los lugares. En consecuencia, si $(n, Q) = 1$ para un entero libre de cuadrados $Q$ divisible por el radical de $N_{\delta, t}$, entonces el ideal denominador satisface $\mathfrak{d}_{\mathbb{N}}(nP) = \mathfrak{d}_{\mathbb{N}}(P)$.
• Teorema 1.5 (Superficie sobre $\mathbb{Q}$): El autor construye explícitamente una superficie semiabeliana geométricamente no partida $G_{surf}/\mathbb{Q}$ (una extensión de una curva elíptica $E: y^2 = x^3 - 2$ por el toro de norma uno $R^1_{L/\mathbb{Q}}\mathbb{G}_m$ con $L=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$) y un punto $P_{surf} \in G_{surf}(\mathbb{Q})$ con una órbita cíclica densa en el sentido de Zariski. Para este punto, el divisor de reducción eventual es $U(P_{surf}) = 2$. Esto implica que, para todo $n$ coprimo con un entero fijo, $D_{nP_{surf}} = D_{P_{surf}}$.
• Teorema 4.9 (Trifolio sobre $\mathbb{Q}$): Se construye un trifolio semiabeliano geométricamente no partido sobre $\mathbb{Q}$ utilizando la curva elíptica $E: y^2 + y = x^3 + x^2 - 2x$ (conductor 389). El punto resultante $P$ satisface $D_P = 1$ y $U(P) = 2$, confirmando las condiciones de la conjetura para un trifolio.
• Generalidad de Dimensión: El Teorema 4.16 extiende estos resultados a cada dimensión $d \ge 2$ sobre $\mathbb{Q}$ mediante la toma de productos con toros partidos, mostrando que el fenómeno no se restringe a dimensiones bajas.
• Resultados de Densidad: El artículo establece que el conjunto de índices $n$ para los cuales $D_{nP} = D_P$ tiene una densidad natural inferior de al menos $1 - 1/N_{\delta, t}$. Por el contrario, el conjunto de órdenes de reducción exactos (índices de divisores primitivos) tiene una densidad superior de a lo sumo $1/N_{\delta, t}$.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo demuestra que el análogo del teorema de Silverman–Cheon–Hahn falla drásticamente en la categoría de variedades semiabelianas, mientras que simultáneamente construye instancias explícitas donde la Conjetura 1.2 de Silverman se cumple. Específicamente:

1. Fallo de la Realización del Orden Exacto: A diferencia del caso de las curvas elípticas, existen puntos densos en variedades semiabelianas donde el conjunto de órdenes de reducción exactas es disperso (densidad $\le 1/N$), lo que significa que muchos enteros nunca aparecen como órdenes exactas de reducción.
2. Validación de la Conjetura de Silverman para Instancias Específicas: Los puntos construidos satisfacen las condiciones de la Conjetura 1.2 de Silverman, probando que el fenómeno de "retorno exacto" ($D_{nP} = D_P$) ocurre infinitas veces y, de hecho, para un conjunto de índices con densidad positiva. El artículo señala que, aunque la conjetura sigue abierta en su total generalidad sobre cuerpos numéricos, estos ejemplos proporcionan la primera verificación incondicional para variedades semiabelianas geométricamente no partidas.
3. Papel de los Puntos de Ribet: El trabajo destaca que las secciones de Ribet (específicamente sus versiones desplazadas por torsión) actúan como la obstrucción a la existencia de divisores primitivos para todo $n$ grande. Esto contrasta con las variedades semiabelianas partidas (productos de variedades abelianas y toros), donde el teorema de Perucca implica que el número de componentes del cierre de la órbita dicta el divisor universal, que es 1 para cierres conexos.
4. No Partición Geométrica: El fenómeno está intrínsecamente ligado a las extensiones geométricamente no partidas. El artículo observa que para los productos partidos, el número de componentes del cierre de la órbita es igual al mayor entero que divide casi todo orden de reducción, lo que impide la construcción de tales conjuntos de "órdenes faltantes". La naturaleza no partida de la extensión, combinada con la aritmética específica del punto de Ribet, permite que el divisor de reducción eventual $U(P)$ sea estrictamente mayor que 1 (por ejemplo, $U(P)=2$), incluso cuando el cierre de la órbita es conexo.

El artículo concluye que el "dato faltante" (el divisor universal de los órdenes de reducción) es genuinamente mixto, transportado por la clase de extensión, el levantamiento de la biextensión y la traslación por torsión, y que este comportamiento está ausente en variedades abelianas puras o productos partidos.