Gibbsian Entropy for General Wigner Distributions

Nel mondo della fisica, l'entropia è la misura del disordine, o più precisamente, una misura di quanto non sappiamo riguardo alla specifica disposizione di un sistema. Per secoli, gli scienziati hanno usato questo concetto per comprendere come il calore fluisce e perché il tempo sembra muoversi in una sola direzione. Nel regno dell'infinitamente piccolo, dove le regole della fisica classica lasciano il posto alle strane leggi della meccanica quantistica, definire questo disordine diventa molto più difficile. I sistemi quantistici sono spesso descritti da un oggetto matematico chiamato matrice di densità, che contiene tutte le informazioni sullo stato del sistema. Da questa, i fisici possono calcolare una misura standard di incertezza nota come entropia di von Neumann. Tuttavia, questo approccio richiede la conoscenza esatta della matrice di densità, il che è spesso impossibile da determinare per sistemi complessi.

Per aggirare questo problema, i fisici hanno cercato a lungo di descrivere i sistemi quantistici utilizzando una mappa di posizione e momento, simile a come una mappa meteorologica mostra la temperatura e il vento attraverso una regione. Questa mappa è chiamata distribuzione di Wigner. È uno strumento potente perché permette agli scienziati di visualizzare gli stati quantistici in un modo che appare familiare, colmando il divario tra il mondo classico che vediamo e il mondo quantistico che lo sottende. Il problema è che questa mappa non è una vera mappa di probabilità. In certe regioni, i valori sulla mappa possono essere negativi, il che non ha senso per una distribuzione di probabilità standard. A causa di questi valori negativi, gli strumenti matematici standard utilizzati per calcolare l'entropia si interrompono, lasciando un vuoto nella nostra comprensione di come funziona il disordine in molti sistemi quantistici, particolarmente in quelli che non sono semplici o perfettamente regolari.

Un team di ricercatori ha ora proposto un nuovo modo per colmare questo vuoto. Hanno sviluppato un metodo per calcolare una misura significativa di entropia per qualsiasi sistema quantistico, indipendentmente dal fatto che la sua mappa di Wigner contenga valori negativi o meno. Il loro approccio si basa su un ramo della matematica chiamato teoria delle grandi deviazioni, che studia la probabilità di eventi rari e fluttuazioni estreme. Invece di cercare di forzare la distribuzione di Wigner a comportarsi come una normale mappa di probabilità, i ricercatori hanno utilizzato questo quadro matematico per estrarre dalla distribuzione una nuova funzione dai valori positivi. Questa nuova funzione, che chiamano funzione di tasso, agisce come una mappa di probabilità affidabile anche quando la distribuzione di Wità originale è caotica o negativa. Applicando la definizione standard di entropia a questa nuova funzione di tasso, hanno creato una misura robusta del disordine che funziona sia per stati quantistici semplici e regolari, sia per quelli complessi e irregolari.

I ricercatori hanno testato la loro nuova formula su un classico modello fisico: l'oscillatore armonico monodimensionale, ovvero un sistema che vibra avanti e indietro come una massa attaccata a una molla. Hanno confrontato la loro nuova misura di entropia con i metodi esistenti, nello specifico uno noto come entropia di Wehrl, che è attualmente lo standard per gestire stati quantistici non regolari. Il metodo di Wehrl lavora livellando gli spigoli vivi della distribuzione di Wigner, applicando di fatto una sfocatura alla mappa per rimuovere i valori negativi. Sebbene questo renda la matematica più semplice, esso elimina anche alcuni dei dettagli fini e delle correlazioni inerenti allo stato quantistico. I ricercatori hanno scoperto che il loro nuovo metodo, che non richiede questa sfocatura, produce costantemente un valore di entropia più alto negli stati eccitati dell'oscillatore. Interpretano questo valore più elevato come un segno che il loro metodo cattura una maggiore parte della vera complessità e delle correlazioni nascoste del sistema, incluse proprio quelle caratteristiche che il metodo di smoothing scarta.

Questa distinzione è cruciale perché suggerisce che l'approccio di "smoothing", pur essendo conveniente, potrebbe sottostimare la reale quantità di incertezza e informazione presente in un sistema quantistico. Il nuovo metodo rivela che anche quando un sistema appare semplice su una mappa sfocata, la realtà quantistica sottostante contiene più struttura e potenziale di disordine di quanto precedentemente pensato. I ricercatori hanno inoltre dimostrato che la loro nuova misura di entropia si inserisce naturalmente nel quadro più ampio della teoria dell'informazione. Hanno derivato formule per concetti correlati come l'informazione mutua, che misura quanto due parti di un sistema ci dicano l'una dell'altra, e l'entropia condizionata, che misura l'incertezza su una parte data la conoscenza di un'altra. Questi nuovi strumenti permettono agli scienziati di quantificare le correlazioni quantistiche e l'entanglement senza la necessità di conoscere l'intera e complessa matrice di densità del sistema.

Le implicazioni di questo lavoro vanno oltre il semplice calcolo di un numero. I ricercatori suggeriscono che questo nuovo formalismo potrebbe essere la chiave per comprendere come i sistemi quantistici isolati raggiungano l'equilibrio termico, un processo noto come termalizzazione. In molti sistemi quantistici chiusi, come quelli che si trovano negli esperimenti con atomi ultra-freddi, è difficile tracciare come l'energia si diffonda e come il sistema si assesti in uno stato stabile. Poiché la nuova entropia può essere definita localmente e gestisce bene gli stati non gaussiani, essa potrebbe servire come punto di partenza per descrivere il flusso di energia in questi ambienti caratterizzati da alte fluttuazioni. Inoltre, la capacità di misurare l'informazione mutua usando questo metodo offre un nuovo modo per rilevare l'entanglement, quel misterioso legame tra particelle che Einstein chiamava "azione spettrale a distanza". I ricercatori hanno dimostrato che, per gli stati quantistici puri, un valore non nullo di questa nuova informazione mutua è un segno definitivo di entanglement.

Sebbene il lavoro sia attualmente teorico, gli autori delineano diversi percorsi per esplorazioni future. Propongono di utilizzare questa entropia per studiare le correlazioni quantistiche che vanno oltre il semplice entanglement, come il disordine quantistico (quantum discord), che rappresenta un diverso tipo di connessione quantistica. Suggeriscono inoltre che il metodo possa essere applicato ai sistemi quantistici aperti, dove l'energia viene scambiata con l'ambiente, per comprendere meglio come l'entropia venga prodotta in dispositivi quantistici del mondo reale. Fornendo un modo per misurare il disordine in sistemi che erano precedentemente troppo complessi o irregolari per essere analizzati, questo nuovo approccio offre una finestra più chiara sulla natura statistica del mondo quantistico, aiutando potenzialmente a risolvere enigmi nella termodinamica quantistica e nel comportamento della materia alle scale più piccole.