Gibbsian Entropy for General Wigner Distributions

En el mundo de la física, la entropía es la medida del desorden, o más precisamente, una medida de cuánto desconocemos sobre la disposición específica de un sistema. Durante siglos, los científicos han utilizado este concepto para comprender cómo fluye el calor y por qué el tiempo parece moverse en una sola dirección. En el reino de lo muy pequeño, donde las reglas de la física clásica dan paso a las extrañas leyes de la mecánica cuántica, definir este desorden se vuelve mucho más difícil. Los sistemas cuánticos suelen describirse mediante un objeto matemático llamado matriz de densidad, que contiene toda la información sobre el estado del sistema. A partir de esto, los físicos pueden calcular una medida estándar de incertidumbre conocida como entropía de von Neumann. Sin embargo, este enfoque requiere conocer la matriz de densidad exacta, lo cual suele ser imposible de determinar en sistemas complejos.

Para sortear este problema, los físicos han intentado durante mucho tiempo describir los sistemas cuánticos utilizando un mapa de posición y momento, de forma similar a como un mapa meteorológico muestra la temperatura y el viento a través de una región. Este mapa se llama distribución de Wigner. Es una herramienta poderosa porque permite a los científicos visualizar los estados cuánticos de una manera que resulta familiar, tendiendo un puente entre el mundo clásico que vemos y el mundo cuántico que subyace a él. El problema es que este mapa no es un verdadero mapa de probabilidad. En ciertas regiones, los valores en el mapa pueden ser negativos, lo que no tiene sentido para una distribución de probabilidad estándar. Debido a estos valores negativos, las herramientas matemáticas estándar utilizadas para calcular la entropía fallan, dejando un vacío en nuestra comprensión de cómo funciona el desorden en muchos sistemas cuánticos, particularmente en aquellos que no son simples o perfectamente suaves.

Un equipo de investigadores ha propuesto ahora una nueva forma de llenar este vacío. Han desarrollado un método para calcular una medida significativa de entropía para cualquier sistema cuántico, independientemente de si su mapa de Wigner contiene valores negativos o no. Su enfoque se basa en una rama de las matemáticas llamada teoría de grandes desviaciones, que estudia la probabilidad de eventos raros y fluctuaciones extremas. En lugar de intentar forzar a la distribución de Wigner a comportarse como un mapa de probabilidad normal, los investigadores utilizaron este marco matemático para extraer una nueva función de valores positivos a partir de la distribución. Esta nueva función, que llaman función de tasa, actúa como un mapa de probabilidad fiable incluso cuando la distribución de Wigner original es caótica o negativa. Al aplicar la definición estándar de entropía a esta nueva función de tasa, crearon una medida robusta de desorden que funciona tanto para estados cuánticos simples y suaves como para otros complejos e irregulares.

Los investigadores probaron su nueva fórmula en un modelo clásico de la física: el oscilador armónico unidimensional, que es un sistema que vibra de un lado a otro como una masa en un resorte. Compararon su nueva medida de entropía con los métodos existentes, específicamente uno conocido como entropía de Wehrl, que es el estándar actual para manejar estados cuánticos no suaves. El método de Wehrl funciona suavizando los bordes rugosos de la distribución de Wigner, efectivamente desenfocando el mapa para eliminar los valores negativos. Si bien esto facilita las matemáticas, también elimina algunos de los detalles finos y las correlaciones inherentes al estado cuántico. Los investigadores descubrieron que su nuevo método, que no requiere este desenfoque, producía consistentemente un valor de entropía más alto en los estados excitados del oscilador. Interpretan este valor más alto como una señal de que su método captura más de la verdadera complejidad y las correlaciones ocultas del sistema, incluyendo precisamente las características que el método de suavizado descarta.

Esta distinción es crucial porque sugiere que el enfoque de "suavizado", aunque conveniente, puede estar subestimando la verdadera cantidad de incertidumbre e información presentes en un sistema cuántico. El nuevo método revela que, incluso cuando un sistema parece simple en un mapa suavizado, la realidad cuántica subyacente contiene más estructura y potencial de desorden de lo que se pensaba anteriormente. Los investigadores también demostraron que su nueva medida de entropía encaja naturalmente en el marco más amplio de la teoría de la información. Derivaron fórmulas para conceptos relacionados como la información mutua, que mide cuánto nos dice una parte de un sistema sobre otra, y la entropía condicional, que mide la incertidumbre sobre una parte dado el conocimiento de otra. Estas nuevas herramientas permiten a los científicos cuantificar las correlaciones cuánticas y el entrelazamiento sin necesidad de conocer la matriz de densidad completa y compleja del sistema.

Las implicaciones de este trabajo se extienden más allá de la simple realización de un cálculo. Los investigadores sugieren que este nuevo formalismo podría ser una clave para comprender cómo los sistemas cuánticos aislados alcanzan el equilibrio térmico, un proceso conocido como termalización. En muchos sistemas cuánticos cerrados, como los que se encuentran en experimentos de átomos ultrafríos, es difícil rastrear cómo se propaga la energía y cómo el sistema se asienta en un estado estable. Debido a que la nueva entropía puede definirse localmente y maneja bien los estados no gaussianos, podría servir como un punto de partida para describir el flujo de energía en estos entornos altamente fluctuantes. Además, la capacidad de medir la información mutua utilizando este método ofrece una nueva forma de detectar el entrelazamiento, ese misterioso vínculo entre partículas que Einstein llamó "acción fantasmal a distancia". Los investigadores demostraron que, para estados cuánticos puros, un valor no nulo de esta nueva información mutua es una señal definitiva de entrelazamiento.

Aunque el trabajo es actualmente teórico, los autores delinean varias vías para la exploración futura. Proponen utilizar esta entropía para estudiar las correlaciones cuánticas que van más allá del simple entrelazamiento, como la discordia cuántica, que representa un tipo diferente de conexión cuántica. También sugieren que el método podría aplicarse a sistemas cuánticos abiertos, donde se intercambia energía con el entorno, para comprender mejor cómo se produce la entropía en los dispositivos cuánticos del mundo real. Al proporcionar una forma de medir el desorden en sistemas que antes eran demasiado complejos o irregulares para ser analizados, este nuevo enfoque ofrece una ventana más clara a la naturaleza estadística del mundo cuántico, ayudando potencialmente a resolver enigmas en la termodinámica cuántica y en el comportamiento de la materia a las escalas más pequeñas.