Gibbsian Entropy for General Wigner Distributions

Dans le monde de la physique, l'entropie est la mesure du désordre, ou plus précisément, une mesure de ce que nous ignorons de l'arrangement spécifique d'un système. Pendant des siècles, les scientifiques ont utilisé ce concept pour comprendre comment la chaleur circule et pourquoi le temps semble ne se déplacer que dans une seule direction. Dans le domaine de l'infiniment petit, où les règles de la physique classique cèdent la place aux lois étranges de la mécanique quantique, définir ce désordre devient beaucoup plus difficile. Les systèmes quantiques sont souvent décrits par un objet mathématique appelé matrice de densité, qui détient toute l'information sur l'état du système. À partir de celle-ci, les physiciens peuvent calculer une mesure standard d'incertitude connue sous le nom d'entropie de von Neumann. Cependant, cette approche nécessite de connaître la matrice de densité exacte, ce qui est souvent impossible pour des systèmes complexes.

Pour contourner cela, les physiciens tentent depuis longtemps de décrire les systèmes quantiques en utilisant une carte de position et de quantité de mouvement, de manière similaire à la façon dont une carte météorologique montre la température et le vent à travers une région. Cette carte est appelée la distribution de Wigner. C'est un outil puissant car il permet aux scientifiques de visualiser les états quantiques d'une manière qui semble familière, comblant le fossé entre le monde classique que nous voyons et le monde quantique qui le sous-tend. Le problème est que cette carte n'est pas une véritable carte de probabilité. Dans certaines régions, les valeurs sur la carte peuvent être négatives, ce qui n'a aucun sens pour une distribution de probabilité standard. À cause de ces valeurs négatives, les outils mathématiques standards utilisés pour calculer l'entropie s'effondrent, laissant un vide dans notre compréhension du fonctionnement du désordre dans de nombreux systèmes quantiques, particulièrement ceux qui ne sont pas simples ou parfaitement lisses.

Une équipe de chercheurs a maintenant proposé une nouvelle façon de combler ce vide. Ils ont développé une méthode pour calculer une mesure d'entropie significative pour tout système quantique, que sa carte de Wigner contienne des valeurs négatives ou non. Leur approche repose sur une branche des mathématiques appelée la théorie des grandes déviations, qui étudie la probabilité d'événements rares et de fluctuations extrêmes. Au lieu d'essayer de forcer la distribution de Wigner à se comporter comme une carte de probabilité normale, les chercheurs ont utilisé ce cadre mathématique pour extraire de la distribution une nouvelle fonction à valeurs positives. Cette nouvelle fonction, qu'ils appellent fonction de taux, agit comme une carte de probabilité fiable même lorsque la distribution de Wigner originale est chaotique ou négative. En appliant la définition standard de l'entropie à cette nouvelle fonction de taux, ils ont créé une mesure robuste du désordre qui fonctionne aussi bien pour les états quantiques simples et lisses que pour les états complexes et irréguliers.

Les chercheurs ont testé leur nouvelle formule sur un modèle classique de la physique : l'oscillateur harmonique unidimensionnel, qui est un système qui vibre d'avant en arrière comme une masse sur un ressort. Ils ont comparé leur nouvelle mesure d'entropie aux méthodes existantes, spécifiquement une méthode connue sous le nom d'entropie de Wehrl, qui est actuellement le standard pour traiter les états quantiques non lisses. La méthode de Wehrl fonctionne en lissant les bords rugueux de la distribution de Wigner, en floutant effectivement la carte pour éliminer les valeurs négatives. Bien que cela facilite les mathématiques, cela efface également certains détails fins et corrélations inhérents à l'état quantique. Les chercheurs ont constaté que leur nouvelle méthode, qui ne nécessite pas ce lissage, produisait systématiquement une valeur d'entropie plus élevée pour les états excités de l'oscillateur. Ils interprètent cette valeur plus élevée comme le signe que leur méthode capture davantage la véritable complexité et les corrélations cachées du système, y compris les caractéristiques mêmes que la méthode de lissage rejette.

Cette distinction est cruciale car elle suggère que l'approche par « lissage », bien que pratique, pourrait sous-estimer la véritable quantité d'incertitude et d'information présente dans un système quantique. La nouvelle méthode révèle que même lorsqu'un système semble simple sur une carte lissée, la réalité quantique sous-jacente contient plus de structure et de potentiel de désordre que ce que l'on pensait auparavant. Les chercheurs ont également montré que leur nouvelle mesure d'entropie s'intègre naturellement dans le cadre plus large de la théorie de l'information. Ils ont dérivé des formules pour des concepts connexes tels que l'information mutuelle, qui mesure à quel point deux parties d'un système nous renseignent l'une sur l'autre, et l'entropie conditionnelle, qui mesure l'incertitude sur une partie étant donné la connaissance d'une autre. Ces nouveaux outils permettent aux scientifiques de quantifier les corrélations quantiques et l'intrication sans avoir besoin de connaître la matrice de densité complète et complexe du système.

Les implications de ce travail vont au-delà du simple calcul d'un nombre. Les chercheurs suggèrent que ce nouveau formalisme pourrait être une clé pour comprendre comment les systèmes quantiques isolés atteignent l'équilibre thermique, un processus connu sous le nom de thermalisation. Dans de nombreux systèmes quantiques fermés, tels que ceux que l'on trouve dans les expériences d'atomes ultra-froids, il est difficile de suivre comment l'énergie se propage et comment le système se stabilise. Comme la nouvelle entropie peut être définie localement et gère bien les états non gaussiens, elle pourrait servir de point de départ pour décrire le flux d'énergie dans ces environnements hautement fluctuants. De plus, la capacité de mesurer l'information mutuelle à l'aide de cette méthode offre un nouveau moyen de détecter l'intrication, ce lien mystérieux entre particules qu'Einstein appelait « action fantôme à distance ». Les chercheurs ont démontré que pour les états quantiques purs, une valeur non nulle de cette nouvelle information mutuelle est un signe définitif d'intrication.

Bien que les travaux soient actuellement théoriques, les auteurs décrivent plusieurs pistes pour de futures explorations. Ils proposent d'utiliser cette entropie pour étudier les corrélations quantiques qui vont au-delà de la simple intrication, comme le discord quantique, qui représente un type différent de connexion quantique. Ils suggèrent également que la méthode pourrait être appliquée aux systèmes quantiques ouverts, où l'énergie est échangée avec l'environnement, afin de mieux comprendre comment l'entropie est produite dans les dispositifs quantiques du monde réel. En fournissant un moyen de mesurer le désordre dans des systèmes qui étaient auparavant trop complexes ou irréguliers pour être analysés, cette nouvelle approche offre une fenêtre plus claire sur la nature statistique du monde quantique, pouvant potentiellement aider à résoudre des énigmes de la thermodynamique quantique et du comportement de la matière aux échelles les plus petites.