Gibbsian Entropy for General Wigner Distributions

In de wereld van de natuurkunde is entropie een maat voor wanorde, of nauwkeuriger gezegd, een maat voor hoeveel we niet weten over de specifieke ordening van een systeem. Eeuwenlang hebben wetenschappers dit concept gebruikt om te begrijpen hoe warmte stroomt en waarom de tijd schijnbaar slechts in één richting beweegt. In het rijk van het zeer kleine, waar de regels van de klassieke natuurkunde plaatsmaken voor de vreemde wetten van de kwantummechanica, wordt het definiëren van deze wanorde veel moeilijker. Kwantumsystemen worden vaak beschreven door een wiskundig object dat een dichtheidsmatrix wordt genoemd, die alle informatie over de toestand van het systeem bevat. Hiervan kunnen natuurkundigen een standaardmaat voor onzekerheid berekenen, bekend als de von Neumann-entropie. Deze benadering vereist echter het kennen van de exacte dichtheidsmatrix, wat voor complexe systemen vaak onmogelijk is.

Om dit te omzeilen, hebben natuurkundigen lang geprobeerd kwantumsystemen te beschrijven met een kaart van positie en impuls, vergelijkbaar met hoe een weerkaart temperatuur en wind over een regio weergeeft. Deze kaart wordt de Wigner-verdeling genoemd. Het is een krachtig hulpmiddel omdat het wetenschappers in staat stelt om kwantumtoestanden te visualiseren op een manier die vertrouwd aanvoelt, waardoor de kloof tussen de klassieke wereld die wij zien en de kwantumwereld die eronder ligt, wordt overbrugd. Het probleem is dat deze kaart geen echte waarschijnlijkheidskaart is. In bepaalde regio's kunnen de waarden op de kaart negatief zijn, wat geen zin heeft voor een standaard waarschijnlijkheidsverdeling. Vanwege deze negatieve waarden vallen de standaard wiskundige instrumenten die worden gebruikt om entropie te berekenen uit, waardoor er een gat ontstaat in ons begrip van hoe wanorde werkt in veel kwantumsystemen, met name in systemen die niet eenvoudig of perfect vloeiend zijn.

Een team van onderzoekers heeft nu een nieuwe manier voorgesteld om deze kloof te vullen. Ze hebben een methode ontwikkeld om een betekenisvolle maat voor entropie te berekenen voor elk kwantumsysteem, ongeacht of de Wigner-kaart negatieve waarden bevat of niet. Hun aanpak steunt op een tak van de wiskunde genaamd de grote-afwijkingentheorie (large deviation theory), die de waarschijnlijkheid van zeldzame gebeurtenissen en extreme fluctuaties bestudeert. In plaats van te proberen de Wigner-verdeling te dwingen zich als een normale waarschijnlijkheidskaart te gedragen, gebruikten de onderzoekers dit wiskundige kader om een nieuwe, positief waardende functie uit de verdeling te extraheren. Deze nieuwe functie, die zij een raatefunctie noemen, fungeert als een betrouwbare waarschijnlijkheidskaart, zelfs wanneer de oorspronkelijke Wigner-verdeling chaotisch of negatief is. Door de standaard definitie van entropie toe te passen op deze nieuwe raatefunctie, creëerden ze een robuuste maat voor wanorde die werkt voor zowel eenvoudige, vloeiende kwantumtoestanden als complexe, onregelmatige toestanden.

De onderzoekers testten hun nieuwe formule op een klassiek natuurkundig model: de eendimensionale harmonische oscillator, een systeem dat heen en weer trilt zoals een massa aan een veer. Ze vergeleken hun nieuwe entropemaat met bestaande methoden, specifiek één die bekend staat als Wehrl-entropie, die momenteel de standaard is voor het afhandelen van niet-vloeiende kwantumtoestanden. De Wehrl-methode werkt door de ruwe randen van de Wigner-verdeling glad te strijken, waarbij de kaart effectief vervaagt om de negatieve waarden te verwijderen. Hoewel dit de wiskunde makkelijker maakt, wast het ook enkele van de fijne details en correlaties die inherent zijn aan de kwantumtoestand weg. De onderzoekers ontdekten dat hun nieuwe methode, die geen deze vervaging vereist, consequent een hogere waarde voor entropie produceerde in de aangeslagen toestanden van de oscillator. Zij interpreteren deze hogere waarde als een teken dat hun methode meer van de ware complexiteit en verborgen correlaties van het systeem vastlegt, inclusief precies die kenmerken die de gladstrijkingsmethode weglaat.

Dit onderscheid is cruciaal omdat het suggereert dat de "gladstrijkings"-benadering, hoewel handig, de werkelijke hoeveelheid onzekerheid en informatie die in een kwantumsysteem aanwezig is, mogelijk onderschat. De nieuwe methode onthult dat zelfs wanneer een systeem er eenvoudig uitziet op een gladgestreken kaart, de onderliggende kwantumrealiteit meer structuur en potentieel voor wanorde bevat dan voorheen gedacht. De onderzoekers toonden ook aan dat hun nieuwe entropemaat natuurlijk past binnen het bredere kader van de informatietheorie. Ze leidden formules af voor gerelateerde concepten zoals wederzijdse informatie (mutual information), die meet hoeveel twee delen van een systeem ons over elkaar vertellen, en voorwaardelijke entropie (conditional entropy), die de onzekerheid over één deel meet gegeven de kennis van een ander deel. Deze nieuwe instrumenten stellen wetenschappers in staat om kwantumcorrelaties en verstrengeling te kwantificeren zonder de volledige, complexe dichtheidsmatrix van het systeem te hoeven kennen.

De implicaties van dit werk reiken verder dan alleen het berekenen van een getal. De onderzoekers suggereren dat dit nieuwe formalisme een sleutel kan zijn tot het begrijpen van hoe geïsoleerde kwantumsystemen een thermisch evenwicht bereiken, een proces dat thermalisatie wordt genoemd. In veel gesloten kwantumsystemen, zoals die in experimenten met ultra-koude atomen, is het moeilijk om bij te houden hoe energie zich verspreidt en hoe het systeem in een stabiele toestand terechtkomt. Omdat de nieuwe entropie lokaal gedefinieerd kan worden en goed omgaat met niet-Gaussische toestanden, zou het als een startpunt kunnen dienen voor het beschrijven van de energiestroom in deze hoogfluctuerende omgevingen. Bovendien biedt het vermogen om wederzijdse informatie met deze methode te meten een nieuwe manier om verstrengeling te detecteren, de mysterieuze band tussen deeltjes die Einstein "spookachtige actie op afstand" noemde. De onderzoekers toonden aan dat voor zuivere kwantumtoestanden een niet-nul waarde van deze nieuwe wederzijdse informatie een definitief teken is van verstrengeling.

Hoewel het werk momenteel theoretisch is, schetsen de auteurs verschillende mogelijke paden voor toekomstig onderzoek. Ze stellen voor om deze entropie te gebruiken om kwantumcorrelaties te bestuderen die verder gaan dan eenvoudige verstrengeling, zoals kwantumdiscord, wat een andere soort kwantumverbinding vertegenwoordigt. Ze suggerers ook dat de methode kan worden toegepast op open kwantumsystemen, waarbij energie wordt uitgewisseld met de omgeving, om beter te begrijpen hoe entropie wordt geproduceerd in real-world kwantumapparaten. Door een manier te bieden om wanorde te meten in systemen die voorheen te complex of onregelmatig waren om te analyseren, biedt deze nieuwe benadering een helderder venster op de statistische aard van de kwantumwereld, wat potentieel kan helpen bij het oplossen van puzzels in de kwantumthermodynamica en het gedrag van materie op de kleinste schaal.