On the facet pivot simplex method for linear programming

本論文は、数値実験において従来の頂点ピボット法よりも優れた可能性を示す線形計画問題に対する新たな面ピボット単体法を提案し、多項式時間ピボットアルゴリズムの発見への新たな希望を提供する。

要約

あなたは都市内でレモネード屋台を設営する絶対的に最良の場所を見つけようとしていると想像してください。その都市は複雑な多面体（ポリトープ）のような形をしており、あなたは最も収益を上げる頂点を見つけたいと考えています。

70 年以上にわたり、この問題を解決する標準的な方法は頂点ピボット法（ジョージ・ダンツィグによって発明されました）でした。この方法は、建物の外側を歩き回る観光客のように考えられます。彼らはある頂点（コーナー）から始め、隣接する頂点を見て、より良さそうな方へと歩きます。彼らは辺に沿って頂点から頂点へと飛び移り続け、最良の場所を見つけるまでこれを繰り返します。

問題は、時として建物が巧妙に設計された迷路のような頂点構造を持っていることです。最悪の場合、観光客は最良の場所を見つける前に、特定の、疲れ果てるような順序ですべての単一の頂点を通り抜ける必要があるかもしれません。これは、建物が大きくなるにつれて指数関数的に長くなる迷路を歩くようなものです。

新しいアイデア：「ファセットピボット」法

この論文で、著者の楊雅光（ヤグアン・ヤン）は、この問題を解決する新しい方法としてファセットピボット単体法を提案しています。

頂点に沿って歩くのではなく、建物のファセット（多面体の面）を見ている建設検査員だと想像してください。

• 古い方法（頂点）： あなたは頂点から頂点へ飛び移る観光客です。
• 新しい方法（ファセット）： あなたは現在の「基底」を定義するファセットを入れ替えて、最良の場所により近づこうとする検査員です。

新しい方法がどのように機能するかを簡単に説明します。

1. 頂点ではなく、ファセットから始める： 頂点から始めるのではなく、アルゴリズムは仮の、おそらく不完全な位置を定義する一連のファセット（制約）を選びます。
2. 頂点ではなく、ファセットを交換する： アルゴリズムは、現在「破損」しているか満たされていないファセット（間違った方向に傾いているファセットなど）を確認します。最も悪いものを選び、問題の解決に役立つ別のファセットと交換します。
3. 「フェーズ 1」の迂回なし： 古い方法は、最良のものを探すことさえ始める前に、有効な開始頂点を見つけるための長く高価な「フェーズ 1」の旅を必要とすることがよくありました。新しい方法は巧妙です。数学的に即座に機能することが保証された設定から始めるため、その長い迂回を完全にスキップします。これは、まず鍵を開けようとするのではなく、魔法の鍵で建物の扉を瞬時に開けるようなものです。

なぜこれがエキサイティングなのか？

この論文は認めています。この新しい方法が主に 2 つの理由で非常に有望であると主張しています。

• 難しい迷路で高速である： 著者は、古い観光客の方法が永遠に時間がかかるように仕組まれた数学的な迷路「クリー・ミンティ・キューブ」でこれをテストしました。新しいファセットの交換方法は、これらの迷路を数千回ではなく数ステップで、はるかに高速に解決しました。
• より堅牢である： 現実世界の数学的問題の膨大なコレクション（Netlib ベンチマーク）でテストされた際、新しい方法はほぼすべてを正常に解決しました。古い「観光客」法は、時として立ち往生したり、非常に長い時間がかかったりしましたし、「双対」法（別の種類の観光客）は、建物の幾何学構造が難しすぎるために諦めることがありました。ファセットの交換法は、これらの難しい幾何学構造をよりよく処理しました。

注意点（と希望）

この論文は認めています。非常に大きく単純な問題については、古い方法（または建物の中央をドローンで飛行するような「内点法」などの他の方法）の方がまだ高速である可能性があります。

しかし、大きな希望は、この新しい「ファセットの交換」アプローチが、60 年間の数学的な謎を解く鍵となるかもしれないという点です：すべての問題に対して高速（多項式時間）であることが保証された方法を見つけることができるでしょうか？

何十年もの間、数学者たちは古い「頂点飛び」法が十分に高速であることを証明しようと試みましたが、それが信じられないほど遅いケースが見つかりました。この新しい「ファセットの交換」法は、新鮮な視点を提供します。それは同じ古い規則に依存しておらず、初期のテストは、それがあらゆる種類の線形計画問題に対して、高速かつ信頼性の高い解決策への道を示唆しています。

要約すると： この論文は、「頂点」を飛び移るのではなく「ファセット」を交換することによって数学的最適化問題を解決する新しい方法を導入しています。それは退屈なセットアップ手順をスキップし、古い方法よりも迷路をうまく処理し、すべての問題に対する完璧で高速な解決策を見つけるための数学者たちの新たな希望を与えています。

技術概要

技術的概要：線形計画問題に対する面ピボット単体法

問題提起
本論文は、線形計画（LP）問題を解くための標準的な頂点ピボット単体法の計算効率と理論的限界に取り組む。ダンツィグの頂点単体法は実用上極めて有効であるが、多項式時間複雑性の証明された上限は存在しない。理論的には、頂点法の最悪ケースは指数関数的な反復回数を伴う（クリー・ミンティの立方体によって示されている）ため、数十年にわたり多項式時間ピボットアルゴリズムの探索は未解決のままである。さらに、従来の頂点法は、特に不等式と境界制約を含む一般的な LP 問題において、初期の実行可能基本解を見つけるために計算コストの高い「フェーズ I」プロセスを必要とすることが多い。

手法
著者らは、ピボット操作を頂点から面（制約）へと根本的に移行させる「面ピボット単体法」を提案する。

• 一般定式化: この手法は、一般的な LP 定式化上で動作する。
  $$\min c^T x$$
  $$\text{subject to } A_I x = b_I, \quad A_J x \ge b_J, \quad \ell \le x \le u$$
  スラック変数を通じて不等式を等式に変換する標準形とは異なり、このアプローチは不等式制約を直接実行可能多面体の面として扱う。

• アルゴリズム的論理:

  • 基底の定義: 変数（頂点）の基底の代わりに、アルゴリズムは問題の次元 $d$ である $d$ 個の線形独立な面（制約）の基底を維持する。
  • 反復プロセス: アルゴリズムは、必ずしも実行可能とは限らない初期基本解（しばしば境界制約から直接導出される）から開始する。各反復において、アルゴリズムは基底を更新するために、非基本制約である「進入面」と基本制約である「脱出面」を選択する。
  • 実行可能性と最適性: アルゴリズムは、目的ベクトル $c$ を現在の基本面の非負線形結合として表現し（ファルカスの補題から導かれる条件を満たす）、面を置換して制約違反を削減することにより、解を反復的に改善する。
  • 終了: 実行可能基本解が見つかった時点でプロセスは停止する。提示された最適性定理によれば、目的ベクトルが実行可能点におけるアクティブな基本面の非負結合として表現できる場合、その点は最適である。
  • 有限収束: 論文は、進入面と脱出面の選択に「最小/最低インデックス則」を適用すれば、アルゴリズムは循環を回避し、有限のステップ数で終了することを証明している。

• 双対単体法との決定的な相違点: 面ピボット法は、制約の基底間を移動する点で双対単体法と幾何学的な類似性を共有するが、双対問題を明示的に構築または解くことなく、双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対問題のみを扱わずに双対