On substantive Lorentz invariance and quantum theory

問題提起

ローレンツ不変性は相対論的物理学の礎石であるが、量子論におけるその実現は問題となっている。相対論的な波動方程式（ディラック方程式など）はローレンツ不変であるが、標準的な量子力学の収縮公理は不変ではない。なぜなら、瞬時の収縮は優先的な時間スライシングを必要とし、これは同時性の相対性と矛盾するからである。ボーム力学や自発的収縮理論（GRWなど）のような量子力学の代替解釈は、時空上に定義された「原始的本体論」（粒子、フラッシュ、または質量密度）を採用することで、収縮公理を放棄し、この問題を解決している。しかし、これらの理論を相対論的領域へと拡張することは、ベルの定理が示唆する非局所性のために困難を伴う。非局所性は厳密にはローレンツ不変性を排除しないものの、両者を調和させることは難しい。

本論文で特定された中心的な問題は、「形式的な」ローレンツ不変性と「実質的な」ローレンツ不変性の区別である。非相対論的理論（あるいは優先フレームを持つ理論）の形式的なローレンツ不変化は、すべてのローレンツ変換されたバージョンを含むように、動的に許容される履歴の集合を拡張することで可能となる。しかし、このような定式化は、しばしば動的なレベルで優先フレームを保持しており、相対性理論の物理的本質を捉え損ねている。本論文は、「実質的なローレンツ不変性」の精密な定義を明文化することの難しさに取り組んでいる。これは、ベルが指摘しながらも解決に至らなかった問題である。

方法論

本論文は、二つの候補となる実質的なローレンツ不変性の基準を調査し、それらを様々な相対論的量子モデルに適用する：

1. アンダーソンの基準（絶対対象）： アンダーソン（1967, 1971）の研究に基づくこの基準は、「動的な対象」（解によって変化するもの）と「絶対対象」（対称変換を施しても、すべての動的に可能な履歴において同一であるもの）を区別する。ある理論が実質的に不変であるとは、その対称群（絶対対象を不変に保つ変換）がローレンツ群を含むことを指す。もし理論が、固定されたフォリエーション（層状構造）のような、絶対対象として機能する構造に依存している場合、その理論はこの基準を満たさない。
2. 孤立した部分系に関する相対性原理： ブラウンとシペル（1995）らから着想を得たこの基準は、ある理論が相対性原理を満たすとは、運動方程式が、（近似的に）孤立した部分系を（例えばローレンツ・ブーストによって）変換しても環境に変化を与えず、一貫した確率を持つ新たな有効な解をもたらすことを許容することを指す、と仮定する。これは、理論の法則が、独立した部分系の動力学を許容するほど十分に局所的であるかどうかをテストするものである。

著者はこれらの基準を以下に適用する：

• 固定された数の非相互作用ディラック粒子に対する、六つの異なる定式化によるローレンツ不変ボーム力学。
• 相対論的フラッシュ本体論モデル（rGRWf）。
• 質量／エネルギー密度に基づく、相対論的版の多世界「Sm」理論。

なお、扱いやすさを維持するため、分析は非相互作用粒子に限定されているが、もつれ（したがって非局所性）は許容されている。

主要な貢献と結果

• ボーム・モデルの分析： 本論文は、粒子の非局所的なガイダンスを決定する空間的超曲面 $\Sigma_{k,x}$ の定義が異なる六つのモデル（i–viとラベル付け）を評価している：

  • モデル (i)–(iii)： これらは時空のフォリエーション（層状構造）に依存している。
    • モデル (i) は、定数ベクトル場 $n^\mu$ によって定義される双平面のフォリエーションを用いる。
    • モデル (ii) と (iii) は、特定の微分法則によって決定される、より一般的なフォリエーション（曲面）を許容する。
  • モデル (iv)–(vi)： これらは独立したフォリエーションを導入しない。表面は波動関数または粒子の世界線によって決定される。
    • モデル (iv) は、全エネルギー・運動量ベクトルなどを通じて、全波動関数から共変的にフォリエーションを決定する。
    • モデル (v) と (vi) は、個々の粒子の運動量または接ベクトルに基づいて表面を決定し、フォリエーション化されていない構造をもたらす可能性がある。

  評価結果：

  • アンダーソンの基準： モデル (i) は、定数ベクトル場 $n^\mu$ が絶対対象であるため、基準を満たさない。モデル (ii) と (iii) は、より広いクラスのフォリエーションを許容するため、特定のフォリエーションが動的であり絶対的ではないことから、基準を満たす。モデル (iv)–(vi) は、余分な時空構造を持たないため、基準を満たす。
  • 相対性原理： モデル (i) は、孤立した部分系のブーストを、グローバルな定数ベクトル場 $n^\mu$ を変更することなく受け入れることができない（これは局所的には許容されない）ため、基準を満たさない。モデル (iv) も、フォリエーションが「全」波動関数によって決定されるため、部分系を変換するとグローバルなフォリエーションが変化してしまい、部分系が真に孤立することができない。したがって、モデル (iv) は失敗する。モデル (ii), (iii), (v), (vi) は、この原理を満たす。

• 自発的収縮 (rGRWf)： rGRWf モデルは両方の基準を満たす。これはミンコフスキー計量以外の絶対対象を持たず、フラッシュの確率分布は分離可能な波動関数に対して因子分解されるため、孤立した部分系の変換が可能である。

• 多世界 (Sm 理論)： エネルギー・運動量テンソルを原始的本体論とする相対論的 Sm 理論は、両方の基準を満たす。本体論はテンソルとして変換され、かつ理論は孤立した部分系を許容する。

• 基準の限界： 本論文は、直感に反する結果を指摘している。すなわち、モデル (i)（双平面フォリエーションを持つ）はアンダーソンの基準によって「実質的に不変ではない」と判定される一方で、モデル (ii) や (iii)（より複雑なフォリエーションを持つ）は「不変である」と判定されることである。これは、アンダーソンの基準が、「作用における反作用の不在」という物理的直観よりも、法則の具体的な数学的定式化に敏感である可能性を示唆している。さらに、モデル (iv) は共変的であるにもかかわらず部分系基準に失敗しており、これらの基準がすべてのケースにおいて実質的な不変性のニュアンスを完全に捉えきれていない可能性を示唆している。

意義と主張

本論文は、提案された基準（アンダーソンおよび部分系原理）は有用なツールではあるものの、実質的なローレンツ不変性の概念を完全には捉えきれていない可能性があると主張している。具体的には、これらの基準を満たすボーム・モデルの中にも、グローバルな波動関数や特定のフォリエーション構造への依存により、直感的に非実質的（non-substantive）に見えるものがあるという事実は、より厳格な定義が必要であることを示唆している。

著者は、これらの基準が、古典論から量子論へ移行する際に、どの側面が相対性理論の修正または放棄を必要とするかを明確にする助けになると結論づけている。彼らは、ローレンツ不変性は、特に優先的なフォリエーションを持つ理論においては、基礎的な動的レベルではなく、統計的レベル（経験的レベル）においてのみ成立する可能性があることを示唆している。本論文は、実質的な不変性の問題を決定的に解決することを目的としたものではなく、既存の提案を具体的な量子モデルに対してテストし、非局所性と相対論的な時空本体論の間の緊張関係を浮き彫りにすることを目的としている。この研究は、「根本的に相対論的な」量子論を実現するには、非局所性、原始的本体論の存在、そして時空対称性の性質との間のトレードオフを乗り越える必要があることを強調している。