Counting rational maps on $\mathbb{P}^1$ with prescribed local conditions

技術要約：所定の局所条件を持つ $\mathbb{P}^1$ 上の有理写像の計数

問題提起
本論文は、算術力学の枠組みの中で、有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の射影直線 $\mathbb{P}^1$ における有理写像の分布問題について調査している。楕円曲線の算術統計との類推に基づき、著者らは、固定された次数 $d \ge 2$ の有理写像 $\phi$ が特定の還元特性を持つ場合の計数問題を扱う。具体的には、本研究は「大域的に最小なレゾナント（resultant）」を持つ有理写像の密度に焦点を当てている。

有理写像 $\phi \in \mathbb{Q}(z)$ は、次数 $d$ の互いに素な 2 つの斉次多項式 $F, G \in \mathbb{Z}[X, Y]$ の組として表される。レゾナント $\text{Res}(\phi) = \text{Res}(F, G)$ は大域的な不変量である。写像が「大域的に最小なレゾナント」を持つとは、$\text{Res}(\phi)$ がすべての非アルキメデス的な値における局所的な最小レゾナント $R_\phi$ の積に等しいことを指す。中心となる問いは、（高さまたはボックス密度によって順序付けられたとき）大域的に最小なレゾナントを持つ有理写像の割合が正であるかどうかである。これは、大域的に最小なワイエルシュトラスモデル（例：Cremona および Sadek [CS23]）に関する密度の結果と同様である。

手法
著者らは、特定の有理写像の部分集合に対する密度の下界を確立するために、算術幾何学、篩法（sieve theory）、および明示的な計算代数学を組み合わせた手法を用いている。

1. 密度フレームワーク: 著者らは主に 2 つの密度尺度を利用している。

   • 高さ密度（Height Density）: 写像の係数に関連する点 $P(\phi) \in \mathbb{P}^{2d+1}(\mathbb{Q})$ の絶対乗法的ヴェイユ高さ $H(\phi)$ に基づく。
   • 弱ボックス密度（Weak Box Densities）: Poonen の研究 [Poo03] に従い、これらの密度はアフィン空間 $\mathbb{Z}^{2d+2}$ 内のボックス内における係数の分布を考慮し、座標の境界に対して独立な極限を許容する。

2. 局所条件と篩い分け: 著者らは、素数における局所条件を通じて有理写像の部分集合を定義している。ある写像が、その $\text{mod } p^k$ での還元が特定の基準（例：良還元、または $p^k$-free なレゾナント）を満たす場合に、その集合に含まれるものとする。

   • 集合が「許容条件（admissibility condition）」（具体的には、大きな素数において条件を満たさない写像の密度が消失すること）を満たす場合、大域的な密度は局所密度の積になることを確立している（命題 3.4）。
   • これは、共通因子を持つ（非最小な）写像、あるいはレゾナントの評価値が高い写像の密度が無視できることを示すための、篩理論的な議論に基づいている。

3. レゾナントの代数幾何学:

   • 2 つの一般的な次数 $d$ の多項式のレゾナント多項式 $r$ を分析している。著者らは、$r$ が絶対既約であるという事実を利用している（命題 4.11）。
   • $\text{mod } p^k$ でレゾナントが消滅する点の数を抑えるために、$r=0$ とその偏導関数 $s=0$ によって定義される特異点集合を分析している。
   • Warning、Schwartz-Zippel、および Hensel の補題を用いた結果を用いて、有限体上のこれらの系の解の数、および $\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$ への持ち上げに対する上界を導出している。

4. $d=2$ の場合の明示的な計算: 次数 2 の場合、著者らはソフトウェア Macaulay2 を用いて、レゾナントとその偏導関数によって生成されるイデアルの明示的な素イデアル分解を行っている。これにより、小さな素数に対する正確な局所密度と、大きな素数に対する厳密な境界を計算することを可能にしている。

主要な貢献と結果

• 定理 A (高さ密度): 奇数 $d \ge 3$ に対して、$2d$ 乗自由なレゾナントを持ち、有限個の素数の集合 $\Sigma$ において良還元を持つ有理写像の集合は、正の高さ密度を持つ。したがって、そのような写像の正の割合が大域的に最小なレゾナントを持つ。
• 定理 B (弱ボックス密度): 任意の整数 $d \ge 2$ に対して、$d$ 乗自由なレゾナントを持ち、有限個の素数の集合 $\Sigma$ において良還元を持つ有理写像の集合は、正の弱ボックス密度 $\mu_n$ を持つ。これは、この密度尺度の下で、正の割合の写像が大域的に最小なレゾナントを持つことを意味する。
• 定理 C (次数 $d=2$ に対する明示的な境界): 次数 2 の有理写像について、著者らは明示的な下界を提供している。彼らは、弱ボックス密度に関して、$\mathbb{Q}$ 上の次数 2 の有理写像の 32.7% 以上 が平方自由（したがって最小）なレゾナントを持つことを示している。

意義と主張
本論文は、$\mathbb{P}^1$ 上の算術力学における統計的な結果が、しばしば写像のランダムな合成を含む確率過程に依存してきたのに対し、静的な有理写像の分布に対処しており、楕円曲線のディオファントス幾何学との類推プログラムの継続として位置づけている。

著者らは、自らの結果が、楕円曲線の Cremona および Sadek による密度の結果と同様に、正の割合の有理写像が大域的に最小なレゾナントを持つことを証明する最初の成果であると主張している。次数 $d=2$ の明示的な計算は、理論的枠組みの具体的な例として機能し、具体的かつ非自明な下界（32.7%）を与えている。

論文は控えめに締めくくられており、使用された局所条件は正の下界を提供するものの、最小なレゾナントを持つ写像の「全集合」をまだ記述できていないことを述べている。標準的なボックス密度（弱ボックス密度ではなく）に関して、正の割合の有理写像が大域的に最小なレゾナントを持つかという問いは、今後の課題として特定されている。