An efficient preconditioner for mixed-dimensional contact poromechanics based on the fixed stress splitting scheme

技術要約：固定応力分裂スキームに基づく混合次元接触ポロメカニクス用の効率的なプリコンディショナ

問題提起
割れ目接触を伴うポロメカニクスの数値シミュレーションは、CO2回収、地熱エネルギー生産、地下ガス貯留などの用途において極めて重要である。これらの問題は、流体流動、マトリックス変形（ビオのポロメカニクス）、および割れ目内の摩擦接触力学という、強く結合した物理現象を伴う。そのモデリングは、複雑な幾ラクティ（多くの場合、高次元領域に埋め込まれた低次元オブジェクトとして表現される割れ目）や、クーロン摩擦および非貫入制約によって支配される非平滑な接触条件（スティック、スライド、および開放状態）のために、困難を極める。

完全陰解法による時間ステップとニュートン法を用いて解く場合、これらの問題は大規模で完全に結合された線形システムを生成する。ソルバーの効率性と堅牢性は、プリコンディショナに大きく依存する。既存の手法は、以下の特有の課題に直面している：

1. サドルポイント構造： 接触力学の拡張ラグランジュ定式化は、特異な部分行列を持つサドルポイント構造を導入し、これが標準的なプリコンディショニング技術の適用を困難にする。
2. 結合の複雑性： 固定応力分裂スキームは、ポロメカニクスをデカップリングするための確立された手法であるが、これを接触力学を伴う破砕媒体へと拡張することは困難である。標準的なサドルポイント・ソルバーは、演算子が結合されたポロメカニカル問題を包含する場合には成立しない特定の行列構造（例：ラプラシアンのような演算子）を想定していることが多い。
3. スケーラビリティ： プリコンディショナは、現実世界の貯留層シミュレーションに典型的な大規模な割れ目ネットワークを含む問題へと規模が拡大しても、効率性を維持しなければならない。

手法
著者らは、入れ子状のシュア補完近似と線形変換を組み合わせた、堅牢かつスケーラブルなプリコンディショナを提案している。このアプローチは、固定応力スキームを、接触力学に対処するために線形変換を用いて、マトリックスおよび割れ目サブドメインの両方に拡張するものである。

手法は以下の段階を経て進行する：

1. 線形変換（前処理）： 接触力学の部分行列における特異性（特にスティッキング状態の割れ目）に対処するため、ヤコビ行列に対して右線形変換行列（$Q_r$）を適用する。この変換は、他のサドルポイント問題で使用される手法に着想を得て、接触力学の部分行列を界面力のバランス方程式と結合させることで、当該部分行列を可逆にする。
2. 入れ子状シュア補完分解： プリコンディショナは、変換されたヤコビ行列のブロックLDU分解の上三角因子を、3つのレベルのシュア補完消去を通じて近似する：
   • レベル1（接触力学）： 接触力学の自由度を消去する。変換された接触部分行列は、界面力から接触条件をデカップルするために、正確に（またはブロック対角近似によって）逆行列計算される。
   • レベル2（運動量バランス）： 運動量バランス方程式をデカップルするために、固定応力ベースの近似を適用する。これには、周囲のマトリックス（$l_{mat}$）と割れ目サブドメイン（$l_{frac}$）に対して特定の係数を持つ安定化行列（$D_{55}$）の構築が含まれる。結合された運動量および界面力バランス方程式は、代数マルチグリッド（AMG）を用いてモノリシックに解かれる。
   • レベル3（界面流動）： 界面流動による自由度を消去するために、界面流動部分行列をその対角成分で近似する（界面流動システムにはILU(0)が使用される）。得られるシュア補完（流体質量バランスを表す）は、AMGを用いてモノリシックに解かれる。
3. 理論的解析： 著者らは、この文脈における固定応力分裂スキームの理論的正当化を行う。簡略化された線形モデルを解析することにより、特定の材料特性、摩擦係数、および接触状態の安定性に関する仮定の下で、逐次反復スキームが縮小写像であることを証明する。この解析は、プリコンディショナで使用される安定化係数の選択を検証するものである。

主な貢献

• 新規なプリコンディショナ設計： 本論文は、混合次元ポロメカニクスにおける接触力学を固定応力分裂スキームと統合することに成功した、新しいプリコンディショナを導入している。これは、線形変換によって接触部分行列の特異性を克服し、入れ子状のシュア補完を通じて複雑な結合を処理する。
• 収束の理論的証明： 著者らは、割れ目接触ポロメカニクスに適用される固定応力分裂スキームの収束保証を導出している。彼らは、このスキームが物理的に妥当な仮定の下で縮小写像であることを示し、収束率を摩擦係数および接触弾性パラメータに結びつけている。
• スケーラビリティと堅牢性： この手法は、主要なサブ問題（弾性と流体質量バランス）にAMGを使用し、界面流動にILUを使用することで、スケーラブルになるよう設計されている。これにより、複雑な割れ目ネットワークを持つ大規模な問題への対応が可能となる。

結果
プリコンディショナは、PorePyフレームワークを用いた一連の数値実験によって検証された：

• パラメータ感度： 単一割れ目モデルを用いたテストでは、反復回数は主に摩擦係数（$F$）に依存し、摩擦が高いほど反復回数が増加することが示された。これは理論的解析と一致している。また、割れ目の法線剛性（$K_n$）は収束にほとんど影響を与えなかった。
• 格子細分化（2D）： 単一の割れ目を持つ2Dモデルにおいて、直接解法（direct subsolvers）を使用した場合、GMRESの反復回数は安定していた。直接解法をAMGに置き換えた場合、自由度が3桁増加しても、反復回数はわずかに増加（約2倍）するのみであり、良好なスケーラビリティを示した。
• 幾何学的複雑性（2D）： 複数の交差する割れ目を持つ実験では、プリコンディショナは効率を維持し、格子細分化に伴うAMGサブソルバのGMRES反復回数の増加はわずかであった。
• 3Dスケーラビリティ： 複数の割れ目と約$10^6$の自由度を持つ3Dシミュレーションでは、格子細分化に伴いGMRESの反復回数がほぼ一定に保たれ、大規模問題に対するスケーラビリティが確認された。3Dケースにおいて線形ソルバーの破綻は観察されなかった。

意義
本論文は、提案されたプリコンディショナが、破砕媒体における摩擦接触ポロメカニクスの困難な問題に対して、堅牢かつスケーラブルな解決策を提供すると主張している。線形変換を用いて接触力学のサドルポイント構造を扱い、入れ子状のシュア補完によって複雑な結合を処理することで、固定応力スキームを拡張することにより、本手法は複雑な地下プロセス（誘発地震、流体輸送、および破砕された貯留層における変形）の効率的なシミュレーションを可能にする。著者らは、このアプローチが、ラグランジュ乗数法を用いた接触（ポロ）力学のあらゆる離散化に適用可能であり、人工地震、流体輸送、および破砕された貯留層における変形の正確かつ計算可能なモデリングへの道を開くものであると強調している。