Consecutive pure fields of the form $\mathbb{Q}\left(\sqrt[l]{a}\right)$ with large class numbers

技術要約：大きな類数を有する形式 $\mathbb{Q}(\sqrt[l]{a})$ の連続する純数体

問題提起
本論文は、連続する純数体の類数が任意に大きくなる存在性を確立するという問題に取り組んでいる。先行研究では、二次体（$l=2$）および純三次体（$l=3$）については、それぞれ $d \le x$ なる整数 $d$ が少なくとも $x^{1/2-o(1)}$ 個および $x^{1/3-o(1)}$ 個存在することを示すことで、成功裏に示されてきた。しかし、素数次数 $l \ge 3$ の純体への一般化は未解決のままであった。著者らは、固定された正の整数 $k$ および有理素数 $l \ge 3$ に対して、連続する純体 $\mathbb{Q}(\sqrt[l]{d+1}), \dots, \mathbb{Q}(\sqrt[l]{d+k})$ が任意に大きな類数を持つような整数 $1 \le d \le x$ が少なくとも $x^{1/l-o(1)}$ 個存在することを証明することを目的としている。

手法および仮定
証明は、解析的数論、ラングランズ・プログラム、およびレギュレータの大きさに関する特定の仮定の組み合わせに基づいている。

1. ラングランズ予想: 著者らは、アルティン $L$ 関数を自己共役表現に関連付けるために、ラングランズ予想（具体的には [Bum97, Conjecture 1.8.1]）を援用している。これにより、類数公式を $L(1, \tilde{\pi}_{d_K})$（ここで $\tilde{\pi}$ は純体のガロア被覆に関連する自己共役表現である）を用いて表現することが可能となる。
2. 仮説1（レギュレータの境界）: 手法の決定的な要素は、$a = n^l + r$（ただし $r | l n^{l-1}$）である場合の、純体のレギュレータ $R_{\mathbb{Q}(\sqrt[l]{a})}$ の上界を仮定する仮説1である。この仮説は以下の通りである：
   $$R_{\mathbb{Q}(\sqrt[l]{a})} = o\left(\sqrt{D_{\mathbb{Q}(\sqrt[l]{a})} \log \log D_{\mathbb{Q}(\sqrt[l]{a})}}\right)$$
   著者らは、ランダウの境界がより大きな推定値（$O(\sqrt{D} \log^{l-1} D)$）を与えることを指摘しているが、これは $l > 3$ の場合に類数が任意に大きくなることを証明するには不十分である。著者らは、$l=5$ における計算的証拠を提示して仮説1を支持しているが、この境界の厳密な証明は依然として未解決の問題であることを認めている。
3. 零点のない領域: Duke および Daileda による結果のアナログを用いて、関連する $L$ 関数の零点のない領域を確立し、これにより $L(1, \tilde{\pi})$ を $(\log D)^\epsilon$ で切断されたディリクレ級数によって近似することを可能にしている。
4. 篩法と剰余類: 著者らは、篩法を用いて特定の整数 $d$ を構成する。$d$ を素数 $q$ の積に対する特定の剰余類の中に選択することで、得られる体において判別式 $D_j$ が特定の分解条件（すなわち、$D_j$ が特定の素数に対して $l$ 乗剰余であること）を満たすようにしている。これにより、$L$ 関数の展開における指標和が大きくなることが強制される。

主要な貢献および結果
本論文は、主要な結果である定理2を提示している。ラングランズ予想および仮説1の下で、著者らは以下を証明している：

• 固定された整数 $k$ および素数 $l \ge 3$ に対して、連続する純体 $\mathbb{Q}(\sqrt[l]{d+1}), \dots, \mathbb{Q}(\sqrt[l]{d+k}]$ が任意に大きな類数を持つような整数 $1 \le d \le x$ が少なくとも $x^{1/l-o(1)}$ 個存在する。
• 具体的には、類数は以下の形の下界を満たす：
  $$h_{\mathbb{Q}(\sqrt[l]{d+j})} \gg_k \frac{\sqrt{d} \log \log d}{R_{\mathbb{Q}(\sqrt[l]{d+j})}}$$
  仮説1の下では、この比は $d \to \infty$ とともに任意に大きくなる。

また、本論文は $L(1, \tilde{\pi}_{d_K})$ の近似を示す命題 2.1、および必要な分解挙動を保証するための適切な剰余類の存在を確立する補題 3.1 および 3.2を提供している。

意義および主張
著者らは、本研究を、純三次体に関する Byeon および Yhee (2024) の最近の結果、および二次体に関する Cherubini ら (2023) の先行研究の一般化として位置づけている。その意義は、密度結果（$x^{1/l-o(1)}$）を任意の素数次数 $l \ge 3$ へと拡張した点にある。

本論文は、結果の無条件性に関して控えめな姿勢をとっている。著者らは、証明が以下の2点に依存していることを明示している：

1. 関連する自己共役表現に関するラングランズ予想。
2. $\mathbb{Q}(\sqrt[l]{n^l+r})$ 形式の純体のレギュレータの上界に関する特定の予想である仮説1。

著者らは、仮説1がなければ、既知のランダウのレギュレータ境界は $l > 3$ の場合に類数が任意に大きくなることを保証するには弱すぎることを強調している。彼らは、仮説1を証明すること（あるいはより鋭いバージョンを証明すること）が、この結果を無条件にするための必要なステップであることを示唆している。論文には、仮説1の妥当性を支持するための $l=5$ における計算的証拠が含まれており、テストされたケースにおいてレギュレータと予想される境界の比が1を大幅に下回っていることが述べられている。