Solvers for the Hermitian and the pseudo-Hermitian Bethe-Salpeter equation in the Yambo code: Implementation and Performance

技術要約：Yamboコードにおけるエルミートおよび擬エルミート・ベテ・サルピテール方程式のソルバー

問題提起
ベテ・サルピテール方程式（BSE）は、中性励起および光学特性を計算するための最先端の第一原理的アプローチである。しかし、BSEの固有値問題を解くことは、特にシステムサイズが増大する場合、重大な計算上の課題を提示する。BSE行列は、次元が $N \approx 10^5$ に達することもあり、高密度かつ構造化されている。タム・ダンコフ近似（TDA）は、この問題をエルミート固有値問題へと簡略化するが、多くの物理的なケース（例：磁性材料、時間反転対称性のない系）では、完全な擬エルミート定式化が必要となる。この完全な形式は、非エルミートな構造を持つ行列を含み、対角化により多くの計算負荷を強いる。さらに、行列生成自体はハイパフォーマンス・コンピューティング（HPC）環境向けに最適化されてきた一方で、ソルバーのステップは歴史的にボトルネックとなっており、特に固有ベクトル（エキシトン波動関数）が必要な場合に顕著である。標準的な反復ソルバーは、完全なBSE行列特有の構造に対して苦戦することが多く、直接対角化は $O(N^3)$ でスケールするため、大規模な系では実行不可能となる。

手法
本研究では、確立された線形代数ライブラリと連携し、Yamboコード内でのBSE固有値問題を解くための2つの異なる戦略を分析および実装している。

1. 直接対角化： 著者らは、Yamboを ScaLAPACK および ELPA ライブラリと連携させている。完全な擬エルミートの場合（結合項がゼロでない場合）において、彼らは問題を実スキュー対称固有値問題へと変換する特殊なアルゴリズムを実装している。これには、実対称行列 $M_r$ の構築と、元のハミルトニアン $H_{2p}$ を標準的なエルミートまたはスキュー対称ソルバーによって解可能な形式へと写像するためのユニタリ変換が含まれる。このアプローチは、一般的な非エルミートソルバーの計算コストを回避するものである。
2. 反復ソルバー： 著者らは、SLEPc ライブラリを用いた反復的アプローチを実装している。彼らは、擬エルミート行列用に設計された構造保存型ランチョス反復（具体的にはShao法）を利用している。2つの分布スキームがテストされている：
   • シェル・アプローチ（Shell approach）： 明示的な行列再分配を行わずにYamboの既存の並列構造を再利用する。メモリ消費は最小限に抑えられるが、GPUサポートは欠如している。
   • 明示的アプローチ（Explicit approach）： Yamboのブロック巡回レイアウトからSLEPcの標準的な1D行方向分割へとBSE行列を再分配する。これにより、CUDA/HIPを介したGPU加速が可能となる。

これらのソルバーの性能は、CPU（ISM-CNRクラスター）およびGPU（Leonardo Booster）アーキテクチャの両方で評価されている。研究では、3つの行列サイズ（$N \approx 10^4, 3 \cdot 10^4, 10^5$）を考慮し、エルミート（TDA）、非エルミート、および擬エルミートのアルゴリズム実装を比較している。

主な貢献

• 擬エルミート・ソルバーの実装： 本論文は、完全なBSE行列の擬エルミート構造を利用する、特殊なソルバーの実装について詳述している。これにより、一般的な非エルミートソルバーではなく、効率的な実スキュー対称またはエルミート定値ソルバーの使用が可能になる。
• ライブラリの統合： 本研究は、ScaLAPACK、ELPA、およびSLEPcとの間の堅牢なインターフェースを確立しており、これには結合ケースに必要な特定の対角化ルーチンを処理する新しいライブラリ（Lumenフォーク）も含まれる。
• GPUへの移植： 著者らは、反復ソルバー（SLEPc explicit）および対角化ソルバー（ELPA）をGPUアーキテクチャへ移植することに成功し、NVIDIA A100 GPU上での実現可能性を示した。
• 性能ベンチマーク： 時間計算量、強いスケーリング、およびメモリ利用率について、異なる行列サイズとアーキテクチャにわたる包括的なベンチマークを提供している。

結果

• アルゴリズムの効率性： 新しい擬エルミート（PH）アルゴリズムは、標準的な非エルミート（NH）アプローチを大幅に凌駕する。反復ソルバー（SLEPC）において、PH実装はNH法と比較して5〜6倍の高速化を実現しており、これは主にスケーリング指数が理想的な $O(N^2)$ に近くなっているためである。直接対角化においても、PHアプローチはNH法に対して約5倍の高速化を実現している。
• スケーリング挙動：
  • CPU： ELPAは、結合ケースにおいてScaLAPACKよりも優れたスケーリングと効率を一貫して示している。ELPAの並列化係数（$p$）は理想的な $-1$に近く（$-0.8$から$-0.9$ 程度の値）、一方でScaLAPACKとSLEPcはより低い効率（$p \approx -0.6$ から $-0.7$）を示している。
  • GPU： SLEPcは、小規模から中規模の行列に対してELPAよりも数桁高速であるが、メモリオーバーヘッドとデータ転送によって制限される。ELPAは、結合ケースにおいてGPU上で優れたスケーリングを示し、非常に大きなコア数に達するまで効率がプラトーに達することはない。
• メモリ使用量： 反復ソルラー（SLEPc）は、一般に直接対角化よりも少ないメモリを必要とする。しかし、明示的なSLEPCアプローチは、シリアル実行から並列実行へ移行する際に、大幅な並列オーバーヘッドのメモリコストを伴う。SLEPCにおける擬エルミート実装は、非エルミート版と比較してメモリ効率を向上させるが、対角化ケースではPHの方がNHよりもわずかにメモリ使用量が増加する。
• 実現可能性： 結果は、$10^5$ 次の密なBSE行列が、十分なMPIタスクとメモリリソースが確保されていれば、効果的に扱えることを示している。

意義と主張
著者らは、自らの研究が、大規模行列における「ソルバーの障壁」という決定的な障壁を取り除いたと主張している。擬エルミート構造を活用することで、完全な結合BSE行列の解法を、共鳴近似（TDA）とほぼ同等の効率にまで高めた。これにより、TDAでは不十分な複雑な系（例：磁性材料、2Dヘテロ構造）におけるエキシトン効果の研究が可能になる。

本論文は、行列生成には大幅な最適化が見られる一方で、ソルバーのステップが固有ベクトルを抽出するための制限要因となっていることを強調している。著者らは、外部の高度に最適化されたライブラリ（ELPA, ScaLAPACK, SLEPc）を使用することは、DFTにおいてカスタムの反復ソルバーが好まれることが多いのと対照的に、BSEソルバーにとって実行可能かつ効果的な戦略であると論じている。GPUへの移植成功と $N \approx 10^5$ の行列の取り扱い能力のデモンストレーションは、コードが、以前は計算不可能であった大規模な光学特性シミュレーションに対処できる能力を備えたことを示唆している。本研究は、最大規模のシステム（1 TBを超えることもある）におけるメモリ蓄積の問題を解決すると主張しているのではなく、その規模においても「対角化」のステップを効率的に実行できることを示している。