An integral analogue of Fontaine's crystalline functor

技術要約：フォンテインンの結晶的関手の整数的な類似物

問題提起
$p$進ホッジ理論において、中心的な問いは、完全体 $k$ 上の滑らかな形式スキーム $X$ 上の $\mathbb{Q}_p$ 局所体系 $V$ の「良還元（good reduction）」に関するものである。フォンテインは、結晶的局所体系が、フィルター付き $F$-アイソクリスタル $D_{\text{crys}}(V)$ としてのモデルを持つことを確立したが、算術的な応用（例：シムラ多様体）においては、整数的な類似物が必要となる。具体的には、$\mathbb{Z}_p$ ラティス $L \subseteq V$ が与えられたとき、その還元特性を捉えるモデルとなる精密な対象を求めることが求められる。

現在、このようなラティスをモデル化するために、3つの異なるアプローチが存在する：

1. 結晶的アプローチ： 強力可分なフィルター付き $F$-クリスタル（フォンテイン・ラファイユ加群）を用いる（範囲 $[0, p-2]$）。
2. プリズマティック・アプローチ： $X$ 上のプリズマティック $F$-クリスタルを用いる。
3. シントミック・アプローチ： プリズマティック $F$ ゲージを用いる。

プリズマティック・アプローチとシントミック・アプローチの間の関係は忘却関手を通じて理解されているが、結晶的アプローチとプリズマティック／シントミック・アプローチの間の厳密な整数的な比較は、これまで欠けていた。本論文は、結晶的実現関手 $D_{\text{crys}}$（プリズマティック対象からフィルター付き結晶的対象への写像）の整数的な類似物の構成を行い、その性質、特に特定のウェイト範囲において同値性を誘導する能力について調査する。

手法
著者らは、標準的な結晶的・ド・ラム比較同型を利用して、関手 $D_{\text{crys}}$ を構成する。

1. 結晶的およびド・ラム実現：

   • プリズマティック $F$-クリスタル $(E, \phi_E)$ に対し、結晶的実現 $D_{\text{crys}}(E, \phi_E)$ は、$E$ の結晶サイトへの制限に関連付けられた $F$-クリスタルとして定義される。
   • ド・ラム実現 $D_{\text{dR}}(E, \phi_E)$ は、ド・ラム・プリズマ $\rho^{\Delta}_{\text{dR}, X}$ によるプルバックを通じて定義される。
   • 中核となる技術的ステップ（定理 1.19）は、ベクトル束の標準的な同型 $\iota_X: D_{\text{crys}}(E, \phi_E)|_{X_{\text{Zar}}} \xrightarrow{\sim} D_{\text{dR}}(E, \phi_E)$ を確立することである。この同型は、ブレイルおよびブレイル–キジン・プリズマを用いることで、具体的な座標不変な記述を提供する。

2. 整数的関手の定義：

   • 関手 $D_{\text{crys}}$ は、結晶的実現に付随する $F$-クリスタルの基礎部分を取り、比較同型 $\iota_X$ の逆写像をド・ラム実現上のナイガード・フィルターに適用することで得られるフィルターを付与することによって定義される。
   • 著者らは、特に局所的にフィルター付き自由（lff）なプリズマティック $F$-クリスタルおよび強力可分な対象に焦点を当て、様々な部分圏におけるこの関手の性質を分析する。

3. 既存の理論との比較：

   • 著者らは、構築された関手をエタール実現関手やディオドネー理論に関連付けるために、辻、ファルティングス、およびアンシュッツ–ル・ブラスの研究を利用する。
   • フィルターの適合性と関手の基底変換下の振る舞いを確立するために、スタック論的な議論（ナイガード・ド・ラム点およびリース・スタック）を用いる。

主要な貢献と結果

1. $D_{\text{crs}}$ の構成：
   本論文は、$\mathbb{Z}_p$ 線形テンソル関手 $D_{\text{crys}}: \text{Vect}_{\phi}(X^{\Delta}) \to \text{Vect}_{W}^{F\phi}(X_{\text{crys}})$ （および同様にプリズマティック $F$ ゲージに対して）を定義する。この関手は、有理的な結晶的関手の整数的なラティスとして機能する。

2. フォンテイン–ラファイユ範囲における同値性：
   主要な結果（定理 A / 定理 3.1）は、滑らかな形式 $W$-スキーム $X$ および $p > 2$ に対して、関手 $D_{\text{crs}}$ が以下の方の間の圏の同値を誘導することを示している：

   • $X$ 上の、Hodge–Tate ウェイトが $[0, p-2]$ にあるプリズマティック $F$ ゲージの圏。
   • $X$ 上の、ウェイトが $[0, p-2]$ にあるフォンテイン–ラファイユ加群（強力可分なフィルター付き $F$-クリスタル）の圏。

   この同値性はエタール実現関手と可換であり、これにより、この特定のウェイト範囲において結晶的、プリズマティック、およびシントミックの各アプローチを統一する。

3. $D_{\text{crys}}$ の性質：

   • ラティス特性： 定理 C は、$D_{\text{crys}}[1/p]$ が結晶的実現とエタール実現の合成と標準的に同一視されることを確立し、$D_{\text{crys}}$ が関手的なラティスであることを確認している。
   • 完全性： 強力可分な、局所的にフィルター付き自由なプリズマティック $F$-クリスタルの部分圏に制限されたとき、この関手は完全（および忘却関手に対して双完全）であることが示されている（命題 2.26, 命題 2.27）。
   • lff性の検出： 関手 $D_{\text{crys}}$ は、あるプリズマティック $F$-クリスタルが局所的にフィルター付き自由であるかどうかを検出する（命題 2.22）。

4. $p$ 分割群への応用：
   著者らは、$p$ 分割群に対する異なるディオドネー理論の関係を明確にするために $D_{\text{crys}}$ を適用する：

   • プリズマティック・ディオドネー関手 $M_{\Delta}$（アンシュッツ–ル・ブラス）を $D_{\text{c}_{\text{crys}}}$ で合成すると、古典的なフィルター付き結晶的ディオドネー関手 $D$（グロタンディーク–メスシング）が回収されることを証明する（定理 4.8）。
   • プリズマティック・ディオドネー関手とブレイル–キジン–キム・ディオドネー関手 $M$ の間の標準的な同一視を確立し、これら現代的および歴史的な分類の関係を解決する（命題 4.16）。
   • これにより、伊藤による結果の強化につながり、$p$ 分割群、プリズマティック・ゲージ、および接続を持つキジン加群の圏の間の同値を確立する（系 4.18）。

意義
本論文は、整数的な結晶的関手 $D_{\text{crys}}$ を明示的に構成することにより、整数的な $p$ 進ホッジ理論の3つの主要なアプローチ（結晶的、プリズマティック、シントミック）の比較を完了させると主張している。その意義は以下の通りである：

• 統一： プリズマティック／シントミック対象と古典的なフィルター付き結晶的対象の間を翻訳することを可能にする架け橋を提供し、特に同値性が確立されているフォンテイン–ラファイユ範囲においてこれを実現する。
• ディオドネー理論の明確化： アンシュッツ–ル・ブラスのプリズマティック・ディオドネー理論とブレイル–キジン–キム理論の構造的な関係を解決し、後者が $D_{\text{crys}}$ を通じて前者のデリバティブとしてどのように回収されるかを示す。
• 整数的な精緻化： 有理的な比較（KisinやGaoによるものなど）の整数的な精緻化を提供し、$p$ 分割群や良還元を持つ局所体系を統一的な圏論的設定で研究するための枠組みを提供する。

著者らは、フォンテイン–ラファイユ範囲における同値性が最もタイトな接続であるが、$D_{\text{c}_{\text{crys}}}$ はより一般的に定義されており、$[0, p-2]$ の範囲外での振る舞いはより複雑であり、結晶的圏と完全に同値ではないことに注意している。