Global weak solutions to a compressible Navier--Stokes/Cahn--Hilliard system with singular entropy of mixing

技術要約：特異な混合エントロピーを持つ圧縮性ナビエ・ストークス／カーン・ヒリアン・システムのグローバル弱解

問題設定
本研究は、粘性流体の相分離をモデル化する、圧縮性ナビエ・ストークス／カーン・ヒリアン系の数学的解析に取り組むものである。系は、有界な領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 上の、時間区間 $(0, T)$ において定義される。支配方程式は、質量および運動量の保存、ならびに化学ポテンシャルと結合した相変数（質量濃度差）の進化を記述する。

本研究の主要な新規性と課題は、自由エネルギー密度の選択にある。圧縮性混合物に関する従来の文献では、通常、多項式成長を持つ正則なポテンシャルが用いられるが、本研究では物理的に妥当なフローリー・ハギンズ（対数型）混合エントロピーを組み込んでいる。このポテンシャルは、物理的な区間 $[-1, 1]$ の境界において特異性を持ち、これにより相変数 $c$ が $(-1, 1)$ 内に留まるという制約を課している。系は、速度に対するノースリップ境界条件、および相変数と化学ポテンシャルに対する斉次ノイマン条件に従う。

手法
著者らは、任意の大規模な初期データに対してグローバルな時間における弱解の存在を証明するために、正則化近似スキームに基づくコンパクトネス法を用いている。核となる手法は以下の通りである。

1. 近似スキーム： 特異なフローリー・ハギンズ・ポテンシャル $F(c)$ を、実数全体で定義され、無限遠において高々二次成長を示す一連の正則なポテンシャル $F_\varepsilon(c)$ によって近似する。これにより、正則なポテンシャルを持つ圧縮性混合物に対して確立されている既存の存在結果（特にAbelsおよびFeireislによるもの）の適用が可能となる。
2. 一様評価： 証明の極めて重要な要素は、近似解 $(\varrho_\varepsilon, u_\varepsilon, c_\varepsilon)$ に対する、正則化パラメータ $\varepsilon$ に依存しない一様評価の導出である。
   • エネルギー評価： 標準的なエネルギー不等式により、密度、速度、および相変数の勾配に対する評価が得られる。
   • 密度依存型カーン・ヒリアンのための新しい評価： 著者らは、密度に関する最小限の仮定（非負、かつ $\gamma > 3/2$ である $\gamma$-可積分）の下で、化学ポテンシャル $\mu_\varepsilon$ および項 $\varrho_\varepsilon F'_\varepsilon(c_\varepsilon)$ に対する新しい評価を導出する。エネルギーバランスから $\nabla_x \mu_\varepsilon$ の制御を利用し、全質量差を含む特定のテスト関数を用いることで、$\int_\Omega \varrho_\varepsilon |F'_\varepsilon(c_\varepsilon)| dx$ に関する一様 $L^2$ 評価を確立する。
   • 圧力評価： 圧縮性を扱うため、著者らはリオンズ＝フェイレイスル理論を適応させる。特定のボゴフスキー作用素に基づいたテスト関数を用いて、圧力 $p(\varrho_\varepsilon)$ の改良された可積分評価を導出する。これにより、断熱指数 $\gamma$ に依存する $L^q$ 評価が得られる。
3. コンパクトネスと極限操作： 一様評価を用いて、収束する部分列を抽出する。密度の強収束は、繰り込み連続方程式および有効粘性フラックスの議論を通じて確立される。相変数の強収束は、密度の強収束と化学ポテンシャルの一様評価を活用することで、従来の非圧縮性研究のコンパクトネス議論を適応させることで得られる。

主要な貢献と結果
主結果（定理1.1）は、3次元有界領域において $\gamma > 3/2$ の場合の、グローバルな時間における弱解の存在を確立している。解は以下の性質を満たす：

• 正則性： 解 $(\varrho, u, c, \mu)$ は、$\varrho \in C_{weak}([0, T]; L^\gamma(\Omega))$ および $c \in L^\infty(0, T; W^{1,2}(\Omega)) \cap L^2(0, T; W^{2, \frac{2\gamma}{\gamma+1}}(\Omega))$ を含む特定の正則性クラスを有する。
• 物理的制約： 相変数がほとんど至る所（a.e.）で物理的境界を満たすことを証明することは、重要な成果である。具体的には：
  • $(0, T) \times \Omega$ のほとんど至る所において $-1 \leq c \leq 1$ が成立する。
  • 密度が正である集合 $\{\varrho > 0\}$ において、ほとんど至る所 $-1 < c < 1$ が成立する。
• 一般的な初期データ： この結果は、密度が厳密に正であることや、ゼロから離れていることを要求せず、また初期濃度が至る所で $(-1, 1)$ 内に厳密に存在することを要求せず（相対質量 $M_c/M \in (-1, 1)$ のみ）、有限の全エネルギーを持つ初期データに対して成り立つ。

意義と主張
本論文は、物理的に妥当なフローリー・ハギンズ・ポテンシャルを持つ、圧縮性ナビエ・ストークス／カーン・ヒリアン系のグローバル弱解の存在に関する最初の結果を提供すると主張している。著者らは、圧縮性混合物に関する先行研究が、多項式成長を持つ正則なポテンシャルに限定されており、それらは物理的な制約 $c \in [-1, 1]$ を強制できないことを強調している。

本研究の意義は、以下の点にある：

1. ギャップの解消： 圧縮性領域における特異なエントロピーを扱うことで、非圧縮性と圧縮性の相場理論モデル間の分析的なギャップに対処している。
2. 最小限の仮定： 密度依存型カーン・ヒリアン方程式の評価の導出は、密度の厳密な正値性や有界性に依存しておらず、これは先行研究（例：第二著者およびTemamによる非圧縮性のケース）で要求されていた条件である。
3. 物理的一貫性： 証明は、極限解が相変数の物理的境界を遵守することを厳密に示しており、これにより相分離の基礎となる熱力学とのモデルの一貫性を保証している。

著者らは、彼らのアプローチがコンパクトネス法に依拠しており、密度の強収束の証明は、この特定の結合系に適応された確立された手法（リオンズ＝フェイレイスル理論）に従うことを述べている。また、結果はより高い正則性を伴って2次元領域に拡張可能であること、および同様の成長条件を満たすより一般的な特異ポテンシャルを扱うことが可能であることにも言及している。