技術要約：状態制約を伴うフィードバック線形化

問題定式化

フィードバック線形化（FBL）は、入力アフィン非線形制御系を線形システムへと変換し、極配置のような線形設計手法の使用を可能にする成熟した手法である。しかし、状態制約を扱う際には重大な限界が生じる。FBLはシステムダイナミクスを線形化することには成功するものの、元の非線形システムにおける単純な状態制約が、線形化された領域では複雑な非線形制約へと変換されてしまうことが多い。この変換はFBLの主要な利点を損なう。なぜなら、これらの複雑な制約下での線形システムの制御は、元の非線形システムを制御することと同様に困難になるからである。

この問題に対する既存のアプローチは、通常、オンライン適用には不適切な計算負荷を強いる最適化ベースの手法（例：モデル予測制御）や線形行列不等式（LMI）に依存している。他の手法は、単純な「ボックス」制約に限定されていることが多い。本論文は、オンライン最適化を必要とせず、一般的な時変制約に適用可能な、状態制約の充足を保証するFBLコントローラの設計という課題に取り組んでいる。

手法

提案される手法は、状態拡張、積分制御の修正、およびスイッチングFBLの実装という3段階のワークフローに従う。

1. 状態拡張と制約の捕捉

本アプローチの中核は、FBLを適用する前に、状態制約を包含するようにシステムダイナミクスを拡張することである。

• スラック変数: 制約 $\phi(t, x(t)) \leq 0$ が $Z(t) \geq 0$ によって満たされるように、時変スラック変数 $Z(t)$ が導入される。具体的には、制約は $\phi(t, x(t)) + \frac{1}{2}z^2(t) = 0$ と書き換えられる。
• 解析的導出: 本アプローチでは、この拡張された方程式の時間微分を解析的に導出する。システム入力が明示的に現れるまで（相対次数によって決定される）微分を繰り返すことで、元の入力 $u$ がスラック変数の微分（擬似入力 $w$ として扱われる）の関数として表現される。
• 逐次拡張: 制約の数が入力の数を超えるシステム（MIMOで $r > m$ の場合）に対しては、逐次拡張戦略が採用される。制約は一度に一つのサブセットごとに捕捉され、状態空間を反復的に拡張する。
• 理論的保証: 定理1は、任意の可積分な擬似入力 $w$ に対して、結果として得られる元のシステムの軌道が状態制約を充足することを確立している。これは、システムが制約境界（$z \to 0$）に近づくにつれ、制約に対する制御権限が消失するため、制約違反を防ぐことができるからである。

2. 積分コントローラの構造

擬似入力 $w$ が可積分であること（定理1の要件）を保証し、定常偏差を処理するために、拡張されたシステムには積分コントラ構造がさらに追加される。

• 積分状態 $\xi$ が追加され、$\dot{\xi} = \tilde{w}$ （新しい仮想入力）となる。
• 擬似入力は、積分状態の有界な関数として定義される：$w = s_\beta(\xi)$。ここで、$s_\beta$ は飽和関数のような関数である。
• この修正により、拡張システムへの入力が有界かつ可積分であることが保証され、制約充足の保証が維持される。

3. 不定相対次数の扱いとスイッチング

特定された重要な課題は、拡張されたシステムが状態制約の境界（スラック変数がゼロになる点）において相対次数が不定になることである。この特異性は、可逆なデカップリング行列を必要とする標準的なFBLの直接的な適用を妨げる。

• $\epsilon$-数値的相対次数 ($\epsilon$-NRD): これに対処するため、本論文では $\epsilon$-NRDの概念を導入する。正確なゼロ/非ゼロのリー微分に依存する代わりに、リー微分の係数が数値的に有意であるかどうかに基づいて、閾値 $\epsilon$ を用いて相対次数を決定する。
• スイッチング戦略: コントローラは、局所的な $\epsilon$-NRDに基づいて合成される。システム軌道が進化し、$\epsilon$-NRDが変化する領域（通常は制約境界付近）を横切る際、コントローラは現在の局所的な相対次数に対して合成された新しいFBL則へと切り替わる。
• 後方代入: 実装上の実用性を確保するため、導出された関係式を用いて、拡張された状態（スラック変数）が最終的なコントローラ式から代数的に排除される。最終的なコントローラは、元のシステムの状態と積分状態のみに依存する。

主な貢献

1. スケーラブルな制約処理: 本論文は、制約次元が入力を超えるケースに対して、以前のステート・オーグメンテーション（状態拡張）の研究を拡張している。独自の逐次拡張法を提供し、制約をシステムダイナミクスへと変換するための最初の解析的表現（補題1）を導出した。
2. 基本的設計原理 (定理1): 著者らは、仮想コントローラの可積分性と可逆性が、制約充足を証明するための鍵であることを確立している。提案された拡張手法は、任意の可積分な入力に対して制約充足を保証することを証明している。
3. 不定相対次数の解決: 本論文は、拡張が制約境界において相対次数を不定にすることを理論的に証明している（命題1）。これを $\epsilon$-NRDに基づくスイッチングコントローラ戦略を利用することで克服し、相対次数が動的に変化する場合でもFBLの適用を可能にしている。
4. 実用的な実装ワークフロー: 理論的な結果とは異なり、本論文は理論と実践を繋ぐ決定的な閉形式の実装方法（アルゴリズム1および2）を提供している。後方代入を通じて拡張状態への依存性を除去する方法を詳述しており、これにより積分状態を用いて元のシステム上でコントローラを実行することが可能となる。

結果

本論文は、単一入力単一出力（SISO）システムを用いた数値実験を通じて、提案手法を検証している。

• 例1: 時変二次制約を持つシステム。著者らはコントローラを手動で導出し、提案手法が制約を厳密に遵守しながらシステムを原点へ安定化させることを示した。対照的に、古典的なFBLコントローラ（拡張なし）は制約を違反した。また、この実験は、収束速度に対する極配置の影響と、境界付近でのコントローラ切り替えの必要性を浮き彫りにした。
• 例2: 複数の制約と時変リファレンスを持つLorenz様カオスシステム。提案されたスイッチングFBLコントローラは、実行可能領域内に留まりながらリファレンスを追従することに成功した。制約を無視した古典的なFBLコントローラは、大幅なオーバーシュートを示し、状態制約を違反した。

意義と主張

本論文は、状態制約を扱うことができる汎用的な最適化フリーのFBL手法を提供すると主張している。その主な意義は以下の通りである：

• オンライン最適化の回避: MPCとは異なり、提案されるコントローラはオフライン（または単純なスイッチング論理を通じて）合成され、オンラインでの非線形計画問題の解決を必要としないため、リアルタイムアプリケーションに適している。
• 一般的な制約の処理: 本手法は単純なボックス制約に限定されず、一般的な時変状態制約にも対応できる。
• 特異性への耐性: $\epsilon$-NRDとスイッチング論理を用いることで、制約境界における不定な相対次数という根本的な問題に対処しており、これはFBLを制約付きシステムに適用する際の既知の制限事項である。

著者らは、基礎となる拡張理論はMIMOシステムにも適用可能であるが、スイッチング論理を含む実用的な実装は、スイッチング条件の扱いやすさから、現在はSISOシステムに限定されていると述べている。今後の課題として、このスイッチングフレームワークをMIMOシステムへ拡張することが挙げられている。