Approaching the Continuous from the Discrete: an Infinite Tensor Product Construction

技術要約：無限テンソル積による離散からの連続への接近

問題提起
近年のカテゴリカル確率論の進展により、離散的な確率過程（有限集合や確率行列など）およびガウス過程を、ストリング図的計算を用いて公理化することに成功している。しかし、一般的な連続確率、具体的には $\mathbf{BorelStoch}$（標準ボレル空間とマルコフ核）のようなカテゴリの公理化には、依然として大きな隔たりが存在する。主な困難は、既存のフレームワーク（通常は有限の生成元と方程式に依存する）において、無限の振る舞いを代数的にどのように符号化するかという点にある。コルモゴロフの拡張定理は、連続的な測度が離散的なものの極限として捉えられることを示唆しているが、無限テンソル積を介して離散的な設定から連続的な設定へと橋渡しをする厳密なカテゴリカル構成は、これまで欠落していた。

手法
著者らは、与えられた半カルテシアンカテゴリ $\mathcal{C}$ に対して無限テンソル積を付加する普遍的構成を提案している。その手法は以下の段階を経て進行する：

1. 普遍的構成： 本論文では、$\mathcal{C}$ からの対称モノイダル関手を受ける、無限テンソル積を付加された半カルテシアンカテゴリ $\mathcal{C}^{\otimes\infty}$ を定義する。これは、$\mathcal{C}^{\\otimes\infty}$ が、$\mathcal{C}$ からの対称モノイダル関手を受ける無限テンソル積を持つ、初等的な半カルテシアンカテゴリであるという普遍特性を通じて達成される。
2. 具体的表現（有限近似族）： $\mathcal{C}^{\otimes\infty}$ における射を扱いやすくするために、著者らは「キャンセラティブな削除（cancellative deletions）」を持つカテゴリ（$f \otimes \text{del} = g \otimes \text{del} \implies f=g$ となるもの）に注目を限定する。この設定において、無限テンソル積間の射は、抽象的な極限としてではなく、「有限近似族」として特徴付けられる。射は、自然性、被覆性、および継承性の条件を満たす有限な射の族 $(f_{F,G})$ の同値類として定義される。
3. 図式的構文： 著者らは、これらの有限近似族をストリング図として表現するために「プレート記法（plate notation）」を導入する。これにより、公理的提示の持ち上げが可能になる。すなわち、$\mathcal{C}$ が対称モノイダル理論 $(\Sigma, E)$ によって提示されている場合、$\mathcal{C}^{\otimes\infty}$ は元の生成元と方程式に加え、無限テンソル積（プレート）を扱うための規則を含む理論 $\text{Free}_\infty(\Sigma, E)$ によって提示される。
4. $\mathbf{FinStoch}$ への適用： この構成は、$\mathbf{FinStoch}$（有限集合と確率行列）およびその部分カテゴリである $\mathbf{BinStoch}$（$\{0,1\}$ の冪乗）に適用される。

主要な結果

• $\mathbf{FinStoch}^{\otimes\infty}$ の特徴付け： 著者らは、$\mathbf{FinStoch}^{\otimes\infty}$ が、局所定数マルコフ核を備えたストーン空間のカテゴリ（$\mathbf{StoneStoch}_{lc}$）と等価であることを証明した。このカテゴリにおいて、対象は有限集合の無限積であり（ブルアの定理により、これらは有限集合またはカンター空間 $2^\mathbb{N}$ である）、射は、入力の有限個の座標のみに依存する集合 $X \to Y$ の核 $f$ である。
• 連続確率の公理的提示： $\mathbf{BinStoch}$ に限定することで、著者らは $\mathbf{CantorStoch}_{lc}$（$\mathbf{StoneStoch}_{lc}$ のうち、2の冪乗とカンター空間を含む部分カテゴリ）の公理的提示を導出した。彼らは、$\mathbf{CantorStoch}_{lc}$ が、$\mathbf{CausCirc}$（$\mathbf{BinStoch}$ の公理化）の理論 $(\Sigma, E)$ を持つ $\text{Free}_\infty(\Sigma, E)$ と同型であることを示している。
• 表現力： 本論文は、$\mathbf{CantorStoch}_{lc}$ が実数直線 $\mathbb{R}$ 上のすべての確率測度を包含するのに十分な表現力を持っていることを示している。これは、$\mathbb{R}$ が $\mathbf{BorelStoch}$ における 2 の無限テンソル積と同型であり、本構成が $\mathbb{R}$ 上の測度とカンター空間 $2^\mathbb{N}$ 上の測度との間に全単射な対応を確立しているためである。
• 限界： 著者らは、$\mathbf{FinStoch}^{\otimes\infty}$ が $\mathbf{BorelStoch}$ 全体を復元するわけではないことを明確にしている。それはすべての確率測度を捉えることはできるが、任意の可測関数（局所定数ではない可能性がある）の振る舞いを完全には捉えることができないため、完全な連続カテゴリではなく、特定の表現力豊かな部分カテゴリを形成している。

意義と主張
本論文は、無限テンソル積を用いたマルコフカテゴリを公理化するための最初のツールを提供すると主張している。その主要な貢献は、離散的な設定から無限テンソル積を介して連続的な設定へと橋渡しをする厳密な経路を確立したことにある。連続的な確率を離散的な設定の極限として捉えることで、本研究は、図式的計算（具体的にはプレート記法）を用いて連続的なシステムを推論することを可能にする。

著者らは、このアプローチにより、連続確率における意味論的な等式を離散的な公理から直接導出できることを強調している。また、この構成は $\mathbf{BorelStoch}$ の全般性（特に非局所定数核に関する性質）を捉えるものではないが、カンター空間の観点を通じて実数 $\mathbb{R}$ やその他の連続空間上の確率測度を研究するための豊かなフレームワークを提供する。本研究は、連続確率における意味論的アプローチとストリング図的手法を結びつけるための基礎的なステップとして提示されており、一般的なマルコフ核やガウス混合モデルのような他の確率モデルへの拡張に向けた今後の課題を示唆している。