The lonely runner conjecture holds for nine runners

円形のランニングコースを想像してください。このトラックには、それぞれ異なる速度を持つ数人のランナーがいます。速いランナーもいれば遅いランナーもおり、全く同じ速度のランナーはいません。

**ロンリー・ランナー予想（Lonely Runner Conjecture）**は、これらのランナーに関する数学的な問いです。それはこう問いかけます：すべてのランナーが「孤独（lonely）」になる瞬間は、果たして存在するのでしょうか？

ここで言う「孤独」とは、すべてのランナーが他の誰からも遠く離れている状態を指します。具体的には、トラックの周囲の長さを1としたとき、ランナーが他のすべてのランナーから少なくとも $1/(k+1)$ の距離（$k$ はランナーの数）に離れていれば、そのランナーは「孤独」であると言えます。この予想は、どのような速度の組み合わせを選んだとしても、全員が同時に孤独になる特定の瞬間が必ず存在するはずだと主張しています。

長い間、数学者たちは3人、4人、5人、6人、7人、そして8人のランナーの場合については、これが真実であることを証明してきました。しかし、9人のランナーについては、長らく謎のままでした。

画期的な進展：9人のランナーの場合の解決

この論文において、著者であるマチュー・ローゼンフェルド（Matthieu Rosenfeld）は、この予想が9人のランナーに対しても真であることを証明しています。

彼がどのように行ったのかを、簡単な比喩を用いて説明します。

1. 「不可能」なシナリオ

証明を行うために、著者は古典的な論理的手法である背理法（Proof by Contradiction）を用います。
彼はまず、逆の仮定からスタートします。「ある特定の速度を持つ9人のランナーのグループが存在し、彼らが同時に孤独になることは決してないと仮定しよう」というものです。

もしこのような「悪い」グループのランナーが存在するとしたら、彼らの速度は非常に特殊な数値でなければなりません。論文では、もしこの「悪い」グループが存在するならば、速度の積があまりに巨大にはなり得ないことを示すための数学的な「柵（fence）」（公式）を用いています。これにより、これらの数値が大きくなり得る上限を設定しています。

2. 「割り切れなさ」の探偵仕事

次に、著者は探偵のように手がかりを探します。彼はこう問いかけます。「もしこの『悪い』グループのランナーが存在するなら、彼らの速度はどのような数で割り切れるはずだろうか？」

彼は一連の論理的な規則（補題）を用いて、この仮定上のランナーたちの速度が、非常に長い特定の数のリスト（17、19、23、29など、さらには64や81といった数の累乗など）で割り切れなければならないことを導き出します。

これを次のように考えてみてください。もしあなたが秘密のコード（速度の積）を持っているとしたら、著者は、そのコードが17の「鍵」、19の「鍵」、23の「鍵」……といった具合に、多くの鍵を含んでいなければならないことを証明しているのです。

3. 矛盾

ここで魔法が起こります。

• 上限： ステップ1の「柵」は、速度の総積がある巨大な数（これを $X$ と呼びましょう）よりも小さくなければならないと言っています。
• 下限： ステップ2の「探偵仕事」は、その積が非常に多くの数の積によって割り切れなければならず、その組み合わせた積は $X$ よりも大きくなると言っています。

これは、「この瓶には100個のビー玉しか入りません」と言っている一方で、「中にあるビー玉の重さは、200個入るサイズの瓶を満たすほど重くなければなりません」と証明しているようなものです。

積が $X$ よりも小さくもあり、かつ $X$ よりも大きくもあるということはあり得ません。したがって、最初の仮定が間違っていたことになります。つまり、そのような「悪い」9人のランナーのグループは存在しないのです。ゆえに、ロンリー・ランナー予想は9人の場合においても真であると言えます。

コンピュータの役割

「どのようにしてこれほど多くの数値をチェックしたのか？」と疑問に思うかもしれません。
論文では、あらゆる速度の組み合わせを手作業でチェックすることは不可能であると認めています。著者は、重労働を担うために特化したコンピュータプログラムを作成しました。

• 問題： コンピュータは、特定の複雑な数値パターンが、隙間（「孤独」な場所）を残さずにトラックを「カバー」できるかどうかをチェックしなければなりませんでした。
• 革新性： 著者は、単なる標準的なソルバー（ナッツを割るのにハンマーを使うようなもの）を使ったのではありません。彼は、カスタムメイドの、非常に効率的な「バックトラッキング（探索）」アルゴリズムを構築しました。
  • 迷路の中で道を探す場面を想像してください。すべての道を歩いて回るのではなく、彼のプログラムは「ここで左に曲がったら、10歩先に袋小路に突き当たるから、そこまで歩く必要はない」と判断できるほど賢いのです。
  • この最適化により、コンピュータは以前の試みよりもはるかに速く動作し、同様の問題にかかる時間を32時間から50分へと短縮しました。

10人のランナーについては？

この論文では、理論上、この手法が10人のランナーにも適用できる可能性があることに触れていますが、数学的な難易度が極めて高くなります。「柵」はより高く設定され、コンピュータはあまりに巨大な数値をチェックする必要があるため、単一のコンピュータコアで処理を終えるのに約2年かかる計算になります。

著者は、別の研究者が、より高速な「ふるい分け（sieving）」法を用いて、独立して10人のケースを解決したと述べていますが、この論文はあくまで9人のランナーに対する証明と、そこに到達するための論理およびコードに対して行われた具体的な改善に焦点を当てています。

まとめ

要約すると、この論文は以下の手順によって、数十年来のパズルである9人のケースを解決しました。

1. 「悪い」グループのランナーが存在すると仮定する。
2. そのようなグループが存在するとすれば、許可されたスペースに収まるには数学的に不可能なほど大きな数値が必要になることを証明する。
3. この矛盾を導き出すための数学的規則を検証するために、巧妙に作られたカスタムコンピュータプログラムを使用する。

その結果、異なる速度を持つ9人のランナーがいるトラックでは、全員が完璧に孤独になる瞬間が必ず存在することが確認されました。