Finding equations of the fake projective plane $(C18,p=3,\{2I\})$

図形の宇宙を、ビーチボールのような滑らかな曲線や箱のような鋭い角としてではなく、「複素曲面」という広大で目に見えない風景として想像してみてください。これらは、私たちの目には見えない高次元に存在する数学的な対象です。これらの曲面の中には、馴染みのある射影平面（平行な線が地平線で交わる平らなシートのようなもの）のようなものもあれば、遠目には全く同じに見えるものの、その下に秘密の隠された構造を持つ、荒々しくねじれた従兄弟のようなものもあります。数学者は、このような「見た目が似ているもの」を「偽射影平面（fake projective planes）」と呼んでいます。これらは希少で貴重であり、発見するのが非常に困難です。数十年の間、私たちはそれらが存在することは知っていましたが、その正確な設計図を書くことはできませんでした。それは、宝物が島に埋まっていることは知っているものの、掘り起こすための地図を持っていないような状態でした。この論文は、これらの中にある新たな一対の隠された宝物のための、その地図を描くことについて述べています。

著者であるレフ・ボリソフ（Lev Borisov）とボジュ・ワン（Bojue Wang）は、有名な分類システムにおける (C18, p = 3, {2I}) とラベル付けされた、新しい一対の偽射影平面の明示的な方程式を見事に発見しました。これらの方程式は、この図形の「DNA」のようなものです。一度手に入れれば、コンピュータ上でその曲面を構築し、そのあらゆるねじれや変化を研究することができます。彼らはこれらの図形をゼロから見つけたわけではありません。代わりに、方程式がすでに知られている「従兄弟」のような図形から出発しました。そして、複雑な「数学的な梯子」を築き上げました。巨大で共通の「親」となる図面へと登り、そこから再び新しいターゲットへと降りてくるのです。その過程で、彼らは数千桁の精度を要するパズルと、巨大な対称性のグループ（648通りの異なる動きによる数学的なダンス）を解き、新しい図形が単なるコンピュータの不具合ではなく、実在するものであることを確認しなければなりませんでした。最終的に、彼らは自分たちの新しい方程式が本物の偽射影平面であることを証明し、既知の100個のコレクションに2つのユニークな図形を加えたのです。

隠された双子の物語

著者たちが何をしたのかを理解するために、あなたが非常に奇妙で複雑な彫刻を持っていると想像してください。あなたはそれが存在することを知っており、外側からは完璧な球体に見えるものの、ズームアップすると、それとは異なる秘密の、ねじれた核を持っていることが分かります。数学の世界において、これらは 偽射影平面 (FPPs) です。これらは、標準的な射影平面と同じ「ホッジ数（穴やループの数を数える方法）」を持っていますが、実際には同じ形ではありません。長い間、数学者たちはこれらが正確に100個存在することを知っていましたが（50組の鏡像ペアとしてグループ化されています）、そのほとんどについては、ぼやけた記述しか持っていませんでした。これらが「複素2次ボール（complex 2-ball）」（洗練された曲がった空間）の商であることを知っていましたが、それらを記述する明示的な代数方程式は持っていませんでした。

この論文は、特定の新しい一組のこれらの方程式を見つけることについて書かれています。著者らは、自分たちの発見した新しいものを $\widehat{P^2_{fake}}$ （「ハット」版）、そして出発点としたものを $P^2_{fake}$ （「プレーン」版）と呼んでいます。

旅路：対称性の梯子を登る

著者たちは単に方程式を推測したわけではありません。彼らは「図形の家系図」を用いた巧妙な戦略を用いました。その手順は以下の通りです。

1. 出発点:
彼らは、「プレーン」な偽射影平面 ($P^2_{fake}$) の既知の方程式から出発しました。この図形は9次元空間の中に存在し、84個の3次方程式によって定義されます。これらの方程式に含まれる数値は膨大（約100桁）であり、特定の種類の複素数を含んでいました。

2. 最初の登攀（切断を見つける）:
プレーンな図形から新しい図形へ移動するために、彼らは「非簡約線形切断（nonreduced linear cut）」を見つける必要がありました。図形をチーズのブロックだと想像してください。通常の切断は、それを綺麗に切り裂きます。「非簡約」な切断は、非常に薄すぎてほとんど存在しないような、あるいは「二重になった」スライスのようなものです。この特定の切断を見つけることは、秘密の鍵を見つけるようなものでした。彼らはコンピュータを使用して、図形を素数（73）を法として調べることでこの鍵を探索し、その後「リフティング（持ち上げ）」と呼ばれる手法を用いて、その鍵が完璧に機能するまで精緻化しました。この鍵によって、座標系を変更することが可能になり、数学的な処理が非常に明快になりました。

3. 架け橋の構築（二重被覆）:
新しい座標を用いて、彼らは一連の「被覆（covers）」を構築しました。被覆を紙が図形を包み込むシートだと考えてください。もし2回包めば、「二重被覆（double cover）」になります。

• まず、元の図形の 二重被覆 (2-fold) を構築しました。
• 次に、四重被覆 (4-fold) を構築しました。
• そして、八重被覆 (8-fold) を構築しました。
• 最後に、巨大な 72重被覆（これを「スーパー図形」と呼びましょう）に到達しました。

このスーパー図形は、古い偽平面と新しい偽平面の両方の共通の祖先です。これは、648通りの異なる動き（回転や反射）を持つ巨大な対称性グループを持っています。

4. 困難な局面（72重の登攀）:
これが最も困難なステップでした。著者らは、この「スーパー図形」が新しいターゲット図形とどのように関連しているかを正確に把握しなければなりませんでした。彼らは、スーパー図形の式の異なる部分の間の特定の関係を見つけなければなりませんでした。それは、パーツが代数関数で作られた71次元のパズルを解こうとするようなものでした。
彼らは、スーパー図形の対称性を用いて、新しい図形の「基底（building blocks）」を見つけ出しました。彼らは、これらの基底となる値が基礎となる代数的な数として認識されるのに十分な精度を持つよう、数百、時には数千の小数点以下の精度で計算を行いました。

5. 戻ってくる:
スーパー図形の方程式を得た後、彼らはそれらを「平均化」して、新しい偽射影平面 ($\widehat{P^2_{fake}}$) の方程式を得ました。これは、複雑でノイズの多い信号から、その下にある明確なメッセージを抽出する作業に似ています。
最初に見つかった方程式は、巨大な係数を持ち、複雑な数の体（field）の上で定義された、非常に乱雑なものでした。しかし、彼らは「交点（図形上の線が交わる点）」を利用した巧妙なトリックを用いて、方程式を簡略化しました。変数を入れ替え、「格子簡約（lattice reduction）」アルゴリズム（最も単純な数を見つけるための手法）を使用して、係数を小さくしました。

6. 最終結果:
彼らが見つけた最終的な方程式は、出発点よりもはるかにシンプルです。これらはより小さな数の体（$\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$）の上で定義されており、係数はわずか 20から30桁 に抑えられています。これにより、この図形の研究がはるかに容易になりました。

検証：それは本物か？

著者たちは、方程式を見つけるだけで終わったわけではありません。高精度な近似（シミュレーション）を用いてそこに到達したため、その結果が数学的に厳密であることを証明する必要がありました。彼らは、Magma というコンピュータ代数システムを使用して、厳密な計算を行いました。

• 図形が正しい「ヒルベルト多項式」（その大きさや形を示す指紋のようなもの）を持っていることを確認しました。
• 「ヤコビ行列」（図形がどのように曲がるかを測るツール）をチェックすることで、図形が 滑らか である（鋭い角や裂け目がない）ことを証明しました。
• 図形が偽射影平面として適切な数の「穴」とループを持っていることを確認しました。

論文は、彼らがこの新しい図形を、カートライト＝スターガー（Cartwright-Steger）分類における (C18, p = 3, {2I}) のペアとして正しく特定したことを結論付けています。

なぜこれが重要なのか

これは単に一つの図形を見つけたという話ではありません。著者らは、この手法が残りの謎を解き明かす鍵になると信じています。彼らは、今回研究したものに関連する残りの 3組 の偽射影平面についても、この新しい手法を用いれば、最終的には方程式を見つけられると考えています。それは、迷路を進む新しい方法を見つけたようなものです。一度道を知れば、残りの迷宮を探索することができるのです。

要するに、ボリソフとワンは、既知の数学的対象を取り、対称性に満ちた険しい梯子を登り、共通の祖先を経由して慎重に降りることで、これまで見えなかった新しい双子を発見したのです。彼らは、理論的な存在証明を、具体的で計算可能な現実へと変え、数学者たちに、複雑な曲面という奇妙で美しい世界を探索するための新しい道具を与えたのです。