Bayesian nonparametric models for zero-inflated count-compositional data using ensembles of regression trees

1. 研究の背景と課題 (Problem)

カウント・コンポジショナルデータとは、互いに排他的なカテゴリ間の頻度（計数）の合計が一定（総数 $N_i$）に制約されているデータです。微生物叢（マイクロバイオーム）、古気候学（花粉データ）、単一細胞シーケンシングなど、多くの分野で出現します。

既存の手法には以下の重大な課題があります：

1. ゼロの扱いの限界: 観測されたゼロには、「サンプリング変動によるゼロ（ランダムゼロ）」と、「事象自体が発生しないことによるゼロ（構造的ゼロ）」の 2 種類があります。多くの既存モデルはゼロをランダムなものとみなすか、単純な混合モデルしか扱えず、構造的ゼロを明示的にモデル化できていません。
2. 過分散と複雑な依存関係: 多項分布やディリクレ - 多項分布（DM）は、カテゴリ間の負の相関しか許容しないなど、実データに見られる過分散や複雑な依存構造を捉えきれません。
3. 共変量効果の柔軟性の欠如: 既存のモデルの多くは、共変量と確率の関係を線形関数（パラメトリック）で仮定しています。しかし、実際の関係（例：気候と花粉の分布）は非線形であったり、交互作用を持っていたりするため、モデルの誤指定（misspecification）を招きます。
4. 構造的ゼロと非線形性の同時対応の難しさ: ゼロインフレートを扱うモデルは線形仮定に依存し、非線形性を扱うガウス過程（GP）などのモデルは構造的ゼロを明示的に扱えないというジレンマがありました。

2. 提案手法 (Methodology)

著者らは、**ゼロおよび N 過剰多項分布（ZANIM: Zero-and-N-inflated Multinomial）**をベースに、**ベイズ加法回帰木（BART: Bayesian Additive Regression Trees）**を非パラメトリックな事前分布として導入した 2 つの新しいモデルを提案しています。

2.1 確率モデルの拡張

• ZANIM-BART モデル:

  • ZANIM 分布に基づきます。これは、カテゴリ $j$ ごとに「構造的ゼロの確率 $\zeta_{ij}$」と「構成確率 $\theta_{ij}$」を持ちます。
  • BART の導入: 構成確率 $\theta_{ij}$ には多項ロジスティック BART（Murray, 2021）、構造的ゼロ確率 $\zeta_{ij}$ にはプロビット BART（Chipman et al., 2010）をそれぞれ独立して割り当てます。
  • これにより、共変量 $x_i$ と確率の関係を、事前に関数形を指定することなく、非線形かつ交互作用を自動的に捉えることができます。

• ZANIM-LN-BART モデル:

  • ZANIM-BART に多項ロジスティック正規（Logistic-Normal）の潜在ランダム効果 $u_i$ を追加します。
  • 個体レベルの確率 $\vartheta_{ij}$ は、$\vartheta_{ij} \propto z_{ij} e^{u_{ij}} f^{(c)}_j(x_i)$ として定義されます。
  • このランダム効果により、カテゴリ間の複雑な依存関係や、モデル化されていない過分散（サンプリングゼロの増加要因）を捉えることができます。
  • 識別性の問題（和が 1 の制約）を解決するため、和がゼロになる制約（sum-to-zero constraint）と因子分析ハイアパー事前分布を用いて共分散行列をパラメータ化しています。

2.2 推論アルゴリズム

• データ拡張（Data Augmentation）: 効率的な MCMC サンプリングのために、Menezes et al. (2025) の ZANIM 分布に対するデータ拡張手法と、Albert & Chib (1993) のプロビットモデルに対するデータ拡張手法を組み合わせます。
• サンプリング:
  • 観測されたカウント $y_{ij}$ が 0 の場合、それが「構造的ゼロ」か「サンプリングゼロ」かを判別する潜在変数 $z_{ij}$ を更新します。
  • 各カテゴリごとに独立した BART 木（構成部分とゼロ部分）を、既存の BART サンプリングルーチン（メトロポリス・ヘイスティングス更新など）を用いて更新します。
  • ZANIM-LN-BART では、ランダム効果 $u_i$ を楕円体切片サンプリング（Elliptical Slice Sampling）で更新し、因子分析のハイパーパラメータをギブス更新します。

3. 主要な貢献 (Key Contributions)

1. 初の BART によるカウント・コンポジショナルモデル: カウント・コンポジショナルデータにおいて、BART を非パラメトリックな事前分布として使用した初めての試みです。これにより、線形仮定なしで非線形性や交互作用を柔軟にモデル化できます。
2. 構造的ゼロの明示的モデル化: 既存の BART 応用（ML-BART など）は構造的ゼロを扱えませんが、提案モデルはそれを明示的にモデル化し、推定バイアスを低減します。
3. 過分散と依存構造の統合: ZANIM-LN-BART は、ランダム効果を通じてカテゴリ間の複雑な依存関係と過分散を同時に扱います。
4. 新しいモデルの派生: 構造的ゼロ成分を除去した ZANIM-LN-BART は、これまで文献に存在しなかったMLN-BART（Multinomial Logistic-Normal BART）モデルとして機能します。
5. 効率的な推論アルゴリズム: 複雑な混合モデルと BART の組み合わせに対して、データ拡張と既存の BART サンプラーを統合した効率的な MCMC アルゴリズムを開発しました。

4. 結果 (Results)

4.1 シミュレーション研究

• シナリオ 1（非線形関係の回復）: 非線形な共変量効果と構造的ゼロを含むデータ生成過程（DGP）において、提案モデル（特に ZANIM-LN-BART）は、KL 発散（推定誤差）が最小で、95% 信用区間の被覆確率（CP）が名义値に近い結果を示しました。
  • 構造的ゼロを無視したモデル（ML-BART, MLN-GP など）は、構成確率の推定に大きなバイアスが生じました。
  • 線形仮定を置く ZANIDM-reg モデルは、非線形な真の関係を捉えきれず、性能が劣りました。
• シナリオ 2（高次元・大規模データ）: カテゴリ数（$d=20, 40$）とサンプル数（$n=200 \sim 1000$）を変えた設定でも、提案モデルは他モデルを上回る精度を維持しました。
  • 個体レベルの確率 $\vartheta_{ij}$ についても、ZANIM-LN-BART が最も正確に回復し、信用区間の被覆率も良好でした。
  • 計算時間は BART 系モデルがやや長めですが、実用的な範囲内（最大でも数分〜数十秒程度）であり、GP ベースのモデル（MLN-GP）がサンプル数増加に伴い計算コストが爆発的に増大するのに対し、安定していました。

4.2 実データ分析

• 古気候学（花粉データ）: 北半球の 7,832 個の花粉サンプル（28 属）と気候変数（GDD5, MTCO, AET/PET）の分析を行いました。
  • モデル比較: ホールドアウト予測チェック（HPC）により、ZANIM-LN-BARTが過分散、ゼロインフレート、構成構造のすべてにおいて最も良い適合を示しました。
  • 知見: 気候変数が花粉の存在確率（構成）と欠如確率（構造的ゼロ）に及ぼす非線形な影響（例：特定の温度範囲でのみ出現する、極寒・極熱で欠如するなど）を詳細に可視化しました。
• ヒト腸内マイクロバイオームデータ: 食事データと腸内細菌叢の分析を行いました。
  • ZANIM-LN-BART は、他のモデル（ZIDM, DM-reg など）と比較して、ゼロの過剰や過分散をよりよく捉えました。
  • 変数選択: BART の特性を活かし、どの栄養素がどの細菌属に影響を与えるかを特定し、非線形な食事効果（例：鉄分摂取量と細菌量との逆 U 字型関係など）を明らかにしました。

5. 意義と結論 (Significance)

この研究は、複雑な実世界のデータ（特にゼロが多く、非線形な関係を持つ構成データ）を分析するための強力な新しい枠組みを提供しています。

• 実用性: 古気候学や微生物生態学など、ゼロインフレートと非線形性が共存する分野において、より正確な予測と解釈可能な知見（部分依存プロットなど）を得ることを可能にします。
• 理論的進展: BART の非パラメトリックな柔軟性と、ゼロインフレート・過分散を扱う確率モデルの構造を統合した点で、統計モデリングの新たな方向性を示しました。
• 将来展望: 計算コストのさらなる削減（共有ツリー構造の導入）や、滑らかさの制約（soft-BART など）を課した古気候再構成への応用などが今後の課題として挙げられています。

総じて、ZANIM-LN-BARTは、ゼロインフレート、過分散、複雑な共変量効果を同時に扱うための、現在最も包括的で柔軟なベイズモデルの一つとして位置づけられます。