A $p$-adic interpolation of the Cogdell lift

技術要約：コグデル・リフトの $p$ 進補間

問題設定
本論文は、古典的なコグデル・リフト（Cogdell ([Cog85]) によって導入された、ピカールモジュラー面（ユニタリ群 $GU(2,1)$ に随伴）上の特殊サイクルを重さ3の楕円モジュラー形式へ写す対応）の算術的補間を扱う。古典的なリフトは十分に理解されている一方で、様々な重みやレベルにわたってこれらのリフトを補間する $p$ 進解析的な族を構成することは、依然として大きな課題である。著者は、アドジョイント・クドゥラ・リフト（コグデル・リフトと一致する）の $p$ 進補間を実現し、さらにクーガ・サトウ多様体を用いてこの枠組みを高次の重みへと拡張することを目指している。

手法
本論文は、幾何学的サイクルの構成、テータ対応理論、およびヒダ理論（Hida theory）を用いた $p$ 進モジュラー形式の組み合わせを用いている。

1. アドジョイント・クドゥラ・リフトとテータ対応： 著者は、双対簡約ペア $(GU(1,1), GU(2,1))$ に随伴するテータ核を利用する。アドジョイント・クドゥラ・リフト $L^\dagger$ を分析することにより、本論文は、クドゥラ・ミルソン（Kudla-Millson）およびトング・ワン（Tong-Wang）の理論を通じて、それがコグデル・リフトと等価であることを確立する。合成 $L^\dagger L$ は、リフトを $L$ 関数の特殊値へと結びつけるラリス（Rallis）の内積公式を用いて研究される。
2. 高次の重みのサイクル： リフトを高次の重みへと一般化するために、著者はピカールモジュラー面に付随するクーガ・サトウ多様体上の代数サイクル $C^k_n$ を構成する。これらのサイクルは、部分多様体の基本類からの射影として幾何学的に定義され、定数係数を持つ代数サイクルであることを保証している。これらの生成級数のモジュラリティは、Little ([L19]) によって定義された係数を持つサイクルと比較し、ファンケ・ミルソン（Funke-Millson, [FM11]）の形式論を適用することで証明される。
3. ヒダ理論による $p$ 進補間： 本論文は、$\Lambda$ 進的なモジュラー形式の族を構成する。解析的な重み空間を定義し、通常の $\Lambda$ 進形式の理論を利用する。主要な技術的ツールは、リフトに必要な内積を補間するための、$p$ 進 $L$ 関数（[EHLS20] に従う）の構成である。
4. レフラーの機構（Loeffler's Machinery）： 「大きな」族を最終的に構成するために、著者はレフラー ([L21]) によって開発された形式論を適用する。これには、ミラボー的部分群と特定のレベル構造（$K_r, V_r$）を用いた、イワサワ・コホモロジーにおける「大きな」コホモロジー類の構成が含まれる。これらの類は、ねじれた「大きな」ポアンカレ・ペアリングを通じて組み合わされ、形式的な $q$ 展開を生成する。

主な貢献と結果

• 主要定理 A（アドジョイント・クドゥラの補間）： 本論文は、通常の $\Lambda$ 進形式の空間 $S_{ord}(\omega_{K/\mathbb{Q}})$ 上の解析的自己準同型 $\Psi$ の存在を証明する。任意の算術的重み $\kappa$ とヒダ・ファミリー $F$ に対して、$\Psi(F)$ の $\kappa$ における特殊化は（周期因子を除いて）、古典的なアドジョイント・クドゥラ・リフト $L^\dagger L(F(\kappa))$ を復元する。これは、クドゥラ・リフトの既知の補間と両立する、コグデル・リフトの算術的な $p$ 進補間を提供する。
• 主要定理 B（高次の重みのモジュラリティ）： 著者は、クーガ・サトウ多様体 $A^k$ のコホモロジーにおける高次のサイクル $C^k_n$ を構成する。生成級数 $\sum C^k_n q^n$ は重さ $2k+3$ のモジュラーであることが示される。具体的には、これらのサイクルとコンパクト台を持つコホモロジー類とのペアリングの $q$ 展開は、重さ $2k+3$ の楕円モジュラー形式を与える。
• 主要定理 C（大きなコグデル定理）： チェルン類と直交する尖点的な「大きな」コホモロジー類 $\zeta_\infty$ を構成することにより、本論文は $\Lambda$ 進的な $q$ 展開 $\Phi_\zeta(z)$ を定義する。この級数の重み $k$ およびレベル $r$ における算術的点での特殊化は、モジュラー形式 $S_{2k+3}(\Gamma_1(p^r D))$ になることが証明されている。この級数は、古典的なコグデル・リフトとその高次の重みの類似物を補間する。

意義と主張
本論文は、コグデル・リフトの $p$ 進的な変形に関する統一的な枠組みを提供することを主張している。その意義は以下の通りである：

1. 算術的補間： 幾何学的な交差数をフーリエ係数へと写すコグデル・リフトを、重みとレベルの両方において変化する $p$ 進解析的な族へと、見事に補間した。
2. 幾何学的構成： 係数系に依存する可能性のある従来のアプローチとは異なり、高次のサイクルはクーガ・サトウ多様体のコホモロジーにおける真の代数サイクルとして構成されており、高次のアドジョイント・クドゥラ・リフトの幾何学的解釈を提供している。
3. 一般化： これらの結果は、「大きなコグデル定理」を確立し、特殊サイクルの交差多重度を単一の $\Lambda$ 進的な対象へとパッケージ化している。著者は、使用された手法が、署名 $(m, 1)$ のユニタリ・シムラ多様体にも適用可能である可能性があると述べているが、これは今後の課題として残されている。

本論文は、幾何学的サイクル構成と、ヒダ・ファミリーの解析的性質、およびラリスの内積公式の代数的構造との間の整合性に大きく依拠しており、シムラ多様体の幾何学と $p$ 進モジュラー形式の算術学との間の架け橋となっている。