Symmetry Nonrestoration in the Pati-Salam Model

技術的要約：パティ・サラム模型における対称性の非回復

問題提起
インフレーション後の宇宙の熱履歴を伴う標準的な宇宙論シナリオにおいて、グランド統合理論（GUT）に関連する重大な制約が生じる。もしインフレーション後の再加熱温度（$T_R$）が、特定のゲージ対称性が回復する温度（$T_{res}$）を上回る場合、その対称性は熱的に回復する。その後の冷却に伴い、対称性は再び破れ、't Hooft-Polyakovモノポールのようなトポロジカルな欠陥を生じる可能性がある。

ゲージ群 $G_{PS} = SU(2)_L \otimes SU(2)_R \otimes SU(4)_c$ に基づくパティ・サラム（PS）模型の場合、この対称性の破れは通常、標準模型（SM）の群 $G_{SM}$ への破れを伴い、これは対称性回復温度 $T_{res}$ が対称性の破れのスケールと同程度であることを示唆する。Planck 2018およびBICEP/Keck 2018によるテンソル・スカラー比の現在の観測的境界（$r < 0.036$）は、$T_R \lesssim 5.8 \times 10^{15}$ GeV であることを示唆している。将来の実験では $T_R \simeq 2.4 \times 10^{15}$ GeV まで探索可能である。もしPSの対称性の破れのスケールが中間スケール（$\sim 10^{12} - 10^{14}$ GeV）またはそれ以下であるならば、$T_R > T_{res}$ という条件が満たされる可能性が高く、その結果、モノポールの過剰生成を招き、これらの低スケールモデルを排除することになる。本論文は、この制約が不可避であるのか、あるいは名目上の破れのスケルよりも十分に高い温度においても対称性が破れた状態を維持できるのかを検討するものである。

手法
著者らは、特定のヒッグス部門と有限温度場理論の手法を用いて、PS模型の熱的挙動を分析している。

1. ヒッグス部門： 本模型は、$G_{PS}$ の表現である $(1, 2, 4)$、$(1, 2, 4)$、および $(2, 2, 1)$ を持つヒッグス場を利用する。最初の2つの場（$\Phi$ および $\Xi$）は、高スケール $v$ において $G_{PS}$ から $G_{SM}$ への破れを駆動し、3番目の場（$H$）は、はるかに小さなスケール $\epsilon$ において $G_{SM}$ から低エネルギー群への破れを駆動する。
2. ポテンシャルの構成： 著者らは、4次の項までの最も一般的な $G_{PS}$ 不変スカラーポテンシャルを構築する。彼らは、$\Phi$ と $\Xi$ のツリーレベルのポテンシャルに焦点を当て、高温展開における主要な次数の有限温度補正（$O(T^2)$）を取り入れている。
3. 安定性解析：
   • ゼロ温度： $G_{PS}$ を $G_{SM}$ へと破る真空の局所的安定性を保証するために必要な、4次の結合定数（$a_1$ から $a_{10}$）に関する条件を導出する。これには、質量行列の固有値の解析と、真空期待値（VEV）が非ゼロであることを保証することが含まれる。
   • 有限温度： 主要な熱的補正は、ポテンシャルの2階微分に対するトレースを取ることによって計算される。これらの補正は、二次的な質量項（$a_1, a_2$）を、温度依存の係数 $\tilde{a}_1(T)$ および $\tilde{2}(T)$ へと実質的にシフトさせる。
4. 対称性非回復条件： 破れた相の真空が高温でも持続するかどうかを調査する。著者らは、温度 $T \to \infty$ においても有効な二次係数が負のままであることを保証する、4次の結合定数に関する不等式を導出する。

主な貢献と結果

• 安定性不等式の導出： 本論文は、ゼロ温度において対称性の破れた真空の安定性を保証する、4次の結合定数（特に $a_4, a_5, a_6, a_7, a_8, a_9, a_{10}$ に関するもの）に関する一連の不等式を確立した。
• 非回復のメカニズム： 著者らは、特定の結合定数の選択において、質量項への熱的補正が負になり得ることを示している。具体的には、以下の組み合わせが満たされる場合：
  $$a_6 + 4a_7 + a_{10} < -18a_4 - 12a_8$$
  および
  $$a_6 + 4a_7 + a_{10} < -18a_5 - 12a_9$$
  であれば、有効な質量平方項はすべての温度 $T$ において負のままである。
• 相転移の不在： これらの条件下では、パティ・サラム対称性は、たとえ $T \gg v$ であっても、いかなる温度においても回復しない。したがって、インフレーション後に 't Hooft-Polyakov モンポールを再生するような相転移は起こらない。
• 頑健性： $(2, 2, 1)$ ヒッグス場の導入とそれに続く $G_{SM}$ への破れは、$\Phi$ と $\Xi$ のセクターから導出された主要な結果に対して、無視できる程度の補正（$O(\epsilon^2/v^2)$）しか導入しない。

意義
本論文は、最小限の $SU(5)$ GUTにおいて以前に示された対称性非回復のメカニズムが、パティ・サラム模型においても一貫して作用することを主張している。本研究の主な意義は、モノポールに基づくパティ・サラム対称性の破れのスケールに対する制約を取り除くことにある。

適切な4次の結合定数によって、いかなる温度においても対称性の回復を防げることを示すことで、著者らは以下のことを主張している：

1. 中間スケール（$\sim 10^{12} - 10^{14}$ GeV）および低スケール（TeV-PeV）のパティ・サラム模型は、$T_{res} > T_R$ という要求によって排除されることはない。
2. 再加熱温度が非常に高く（GUTスケールに接近しても）、宇宙は熱的なモノポール生成を回避できる。
3. スカラーセクターのパラメータが導出された不等式を満たす限り、再加熱温度に起因するパティ・サラム・スケールの制約は事実上解除される。

著者らは、ヒッグス部門の大きな自由度がこのような非回復を可能にしていると結論付けているが、さらなる拡張（完全な不変量のセット、高次補正、ゲージ/ユカワ効果、および超対称的バリアントを含むもの）については、今後の課題として残されている。