Global regularity of the multi-dimensional compressible Navier-Stokes-Korteweg system with large initial data

技術要約：大きな初期データを持つ多次元圧縮性ナヴィエ・ストークス・コルテウェグ系のグローバルな正則性

問題設定
本論文は、密度依存型の粘性係数および毛管係数を持つ、多次元圧縮性ナヴィエ・ストークス・コルテウェグ（NSK）系における強解のグローバルな存在性を扱うものである。ダンとセリンによって導出されたこの系は、圧縮性流体の毛管現象をモデル化しており、特定の係数の選択（$\mu(\varrho) = \nu_0 \varrho$, $\lambda(\varrho) = 0$, $\kappa(\varrho) = \kappa_0^2/\varrho$ かつ $\nu_0 = \kappa_0$）の下で量子ナヴィエ・ストークス系へと還元される。

主な数学的課題は、密度依存の係数を持つ場合において、次元 $N=2$ および $N=3$ で、任意に大きな初期データに対してグローバルな正則性を確立することにある。特に、流体が真空から離れている場合が対象となる。グローバルな弱解の研究は進んでいるが、高次元における大きなデータに対するグローバルな強解の存在は依然として未解決の問題である。著者らは、周期的な初期データ $(\varrho_0, u_0)$ を満たすトーラス $\mathbb{T}^N$ 上に焦点を当てている（ここで $0 < \underline{\varrho} \le \varrho_0 \le \overline{\varrho}$）。

手法
証明戦略は、元の系を有効速度 $v = u + \nabla \log \varrho$ を用いて放物型系へと変換することに依拠している。ユンゲルによって導入されたこの変換により、NSK系は以下の形式に変換される：
$$\begin{cases} \varrho_t + \text{div}(\varrho v) - \Delta \varrho = 0, \\ \varrho v_t + \varrho(v - \nabla \log \varrho) \cdot \nabla v + \nabla P = \text{div}(\varrho \nabla v). \end{cases}$$
解析は以下の3つの主要なステップに従って進められる：

1. 密度の（上限の）評価：
   著者らはまず、密度 $\varrho$ の上限を確立する。これは、有効速度 $v$ の高次可積分性の評価（具体的には $\|\varrho^{1/(q+2)}v\|_{L^{q+2}}$）を導出し、デ・ジョルジ（De Giorgi）のイテレーション法を適用することによって達成される。このステップでは、2次元の問題で使用された手法を3次元の場合に適応させており、断熱指数 $\gamma$ に関する特定の制約（$N=3$ のとき $\gamma < 7/3$）を必要とする。

2. 密度の（下限の）正値性：
   最も重要かつ独創的な貢献は、密度の正の下限（真空形成の防止）を得ることである。従来の接近法（例：Haspot）は、$p \to \infty$ の極限をとるために $p$ に依存しない $\|\varrho^{1/(p+2)}v\|_{L^{p+2}}$ の評価に依存していた。著者らは、そのような一様な評価を得ることは不可能であることを示している。代わりに、彼らは独自の修正型ナッシュ・モーザー（Nash-Moser）型イテレーションを開発した。

   • 彼らは、有効速度と逆密度との間の決定的な対数的制御関係を確立した：
     $$\|v\|_{L^\infty(\mathbb{T}^N \times (0,T))} \le C \sqrt{\log(e + \|\varrho^{-1}\|_{L^\infty(\mathbb{T}^N \times (0,T)))}}.$$
   • この評価により、従来のメソッドが達成できなかった「有効速度の一様な $L^\infty$ 評価」を必要とせずに、密度の下限に関するブートストラップ引数を完結させることが可能となった。

3. 高次正則性：
   密度の上限と下限の両方が確立された後、著者らは $\varrho$ と $v$ に関する高次のエネルギー評価を導出する。これらの評価は、局所的な強解をグローバルな時間へと延長することを保証する。

主要な結果
主定理（定理 1.1）は、以下の条件の下で、$\mathbb{T}^N$ ($N=2, 3$) 上の大きな初期データに対する、当該系の強解 $(\varrho, u)$ のグローバルな存在と一意性を確立している：

• $N=2$ の場合：$\gamma \in [1, \infty)$。
• $N=3$ の場合：$\gamma \in [1, 7/3)$。

解は以下の性質を満たす：

• 一様有界性：$(C(T))^{-1} \le \varrho(x,t) \le C(T)$。
• 正則性：$\varrho \in C([0,T]; H^3) \cap L^2(0,T; H^4)$ および $u \in C([0,T]; H^2) \cap L^2(0,T; H^3)$。

意義と主張
本論文は、一般的な3次元領域における物理的な意義を持つ、圧縮性流体力学方程式のグローバルな強解の存在に関する最初の存在結果を提示していると主張している。

• 非圧縮性流体との対比： 著者らは、大きなデータを持つ3次元の非圧縮性流体において、既知のグローバル強解の結果はCaoとTiti (2007) まで遡るものであると指摘している。
• 従来の限界の克服： 本研究は、パラメータ $p$ への依存性が $p \to \infty$ の極限における密度の正の下限の導出を妨げていた、先行研究（Haspot [25] など）における困難を解決した。
• 適用範囲： この結果は、等温（$\gamma=1$）および非等温の両方のケースに適用される。3次元における $\gamma$ の制限は、デ・ジョルジ・イテレーションによる密度の（上限の）評価における技術的な要求に起因する。

著者らは、3次元における $\gamma$ の制限については、密度の評価手法の現時点での制約によるものであるとし、控えめなトーンを維持している。また、2次元の場合はより強いエネルギー評価により、任意の $\gamma \ge 1$ が許容されるとしている。