Siegel modular forms associated to Weil representations: $\operatorname{SL}_2(\mathbb{R}) \& \operatorname{GL}_2(\mathbb{R})$ cases

技術的概要：ウェル表現に付随するシエーゲルモジュラー形式：$SL_2(\mathbb{R})$ と $GL_2(\mathbb{R})$ の場合

問題提起
本論文は、古典的なウェル表現から生じる半整数重み（$1/2$ および $3/2$）のモジュラー形式の明示的な構成と再編成に取り組む。具体的には、古典的、マイナス、フェルミオニックの 3 種類のテータ級数に焦点を当てる。これらの形式のシンプレクティック群 $SL_2(\mathbb{R})$ およびその合同部分群における変換性は、文献（特に志村、Lion–Vergne、および Satake–Takase によるもの）において確立されているが、本論文はこれらの結果を厳密な表現論的枠組みの中で統合することを目指す。さらに、ラングランズプログラムという文脈におけるより広範な自己共形表現の観点から必要となるステップとして、これらの構成を $SL_2(\mathbb{R})$ から相似群 $GL_2(\mathbb{R})$ へ拡張することを目的としている。

手法
著者は、被覆群の理論、明示的コサイクル計算、および表現の誘導を組み合わせた多面的なアプローチを採用する：

1. 被覆群とコサイクル：本研究は、$SL_2(\mathbb{R})$ および $GL_2(\mathbb{R})$ の関連する中心被覆群を厳密に定義することから始まる。著者は、ウェル表現に関連する 3 つの異なる 2-コサイクルを解析する：

   • $c_{X^*}$ および $\tilde{c}_{X^*}$（Rao、Kudla、Perrin、および Lion–Vergne に関連）：それぞれ 2 重被覆と 8 重被覆を与える。
   • $\tilde{b}_{Cz}$（Satake–Takase に関連）：フォックモデルにリンクする実解析的コサイクル。
     本論文は、これらのコサイクルと対応する中心拡大群（$\widetilde{SL}_2(\mathbb{R})$、$\widetilde{GL}_2(\mathbb{R})$ など）の間の関係を明示的に構成し、これらの被覆の異なる実現間の同型を確立する。

2. 3 つのモデルにおけるウェル表現：ウェル表現は、3 つの異なるモデルで実現される：

   • シュレーディンガーモデル：$L^2(\mathbb{R})$ 上で作用する。
   • 格子モデル：格子商上で定義された関数上で作用する。
   • フォックモデル：正則な整関数の空間上で作用する。
     本論文は、特に行列式が $\pm 1$ である行列の群 $SL^\pm_2(\mathbb{R})$ に対して、これらのモデル間の明示的な intertwining 作用素を構成する。

3. 誘導とテンソル誘導：モジュラー形式を再編成するために、著者は誘導表現を利用する。テータ級数は、合同部分群の特定の誘導表現の下で変換する行列値関数として解釈される。本論文は、$\Gamma_\theta$ などのより小さな部分群の指標から $SL_2(\mathbb{Z})$ および $GL_2(\mathbb{Z})$ の表現を生成するために、標準的な誘導とテンソル誘導（Curtis–Reiner および Serre に従う）の両方を採用する。

4. $GL_2(\mathbb{R})$ への拡張：Barthel の $p$-進体に関する研究に続き、著者は 2-コサイクルとウェル表現を $SL_2(\mathbb{R})$ から $GL_2(\mathbb{R})$ へ拡張する。これには、相似因子（行列式）を処理するためにウェル–デルーニュ群を用いて自己共形因子 $J_\delta(g, z)$ を定義することが含まれる。

主要な貢献と結果

• 明示的な乗数系：本論文は、重み $1/2$ および $3/2$ の古典的、マイナス、フェルミオニックのテータ級数に対する明示的な乗数系を計算する。これらは、$\Gamma_\theta \cap \Gamma_0(N^2)$ やその相似群への拡張など、さまざまな合同部分群に対して定義される。乗数系は、ヤコビ記号、デデキント和、および選択されたコサイクルから導出される特定の単位根を用いて表現される。
• 誘導による再編成：モジュラー形式は、行列空間（$M_{1\times 3}(\mathbb{C})$ または $M_{1\times 2}(\mathbb{C})$）に値をとるベクトル値形式 $\Theta_{\chi}^{\kappa/2}$ として再編成される。変換則は以下のように示される：
  $$\Theta_{\chi}^{\kappa/2}(gz) = J_{\kappa/2}(g, z) \Theta_{\chi}^{\kappa/2}(z) \gamma_\chi(g^{-1})$$
  ここで $\gamma_\chi$ は誘導表現である。本論文は、$N$ が奇数（または $N \equiv 2 \pmod 4$）の場合、これらの誘導表現は既約であることを証明し、$N \equiv 0 \pmod 4$ の場合は可約であることを示す。
• $GL_2(\mathbb{R})$ への拡張：主要な結果は、変換則を相似群 $GL_2(\mathbb{R})$ へ拡張するものである。定理 C は、テータ級数 $\theta^{\pm, \delta}_\chi$ および関連する行列値形式 $\Theta^{\pm, \delta}_\chi$ が、誘導表現の構造を保存しつつ、ウェル–デルーニュ群を介して定義された自己共形因子の下で $GL_2(\mathbb{R})$ に対して変換することを確立する。
• Intertwining 作用素：本論文は、負の行列式を持つ要素を含む完全な群の作用の下で、異なるモデルがどのように関連するかを明確にするため、拡張された群 $SL^\pm_2(\mathbb{R})$ に対するシュレーディンガー、格子、およびフォックモデル間の intertwining 作用素の詳細な構成を提供する。

意義と主張
本論文は、ウェル表現と被覆群のレンズを通じて半整数重みのモジュラー形式を理解するための、統合されたかつ明示的な枠組みを提供すると主張する。(テンソル) 誘導を用いてこれらの形式を再編成することにより、著者は、志村や Lion–Vergne などの古典的なテータ級数の結果を、$SL_2$ および $GL_2$ の離散部分群の表現論に直接結びつける。

$GL_2(\mathbb{R})$ への拡張は、これらの結果を自己共形表現の言語で定式化するために必要なステップとして提示されており、ラングランズプログラムの精神と合致する。著者は、使用された手法、特に異なるモデルの比較と明示的コサイクルの使用は、高ランクのメタプレクティック群に対するシエーゲルモジュラー形式の研究に応用可能であると指摘し、その方向での Takase などの先行研究を参照している。本論文は、ラングランズ対応そのものに関する未解決問題を解決するとは主張せず、むしろそのような調査に必要な明示的な「構成要素」（モジュラー形式とその変換則）を提供するものである。