Branch iterated Galois groups with positive fixed-point proportion and positive Hausdorff dimension

技術要約：正の不動点割合と正のハウスドルフ次元を持つ分岐反復ガロア群

問題提起
本論文は、数論的力学系および根付き木に作用する群の理論における、Jones (2008) によって提起された特定の問いに取り組んでいる。中心となる問題は、$d$ 級の根付き木 $\text{Aut}(T)$ のレベル推移的な部分群におけるハウスドルフ次元と**不動点割合（FPP）**の関係である。

Jonesは、もしレベル推移的な群 $G \leq \text{Aut}(T)$ が正のハウスドルフ次元 ($H(G) > 0$) を持つならば、その不動点割合はゼロ ($FPP(G) = 0$) であるはずだと予想した。Boston (2008) は、二元木 ($d=2$) においてこの予想に対する反例を提示したが、$d > 2$ の木における例や、反復ガロア群（算術的反復モノドロミー群）として現れる例は知られていなかった。本論文は、正のハウスドルフ次元と正の不動点割合を同時に持ち得る正則分岐反復ガロア群が存在するかどうかを具体的に調査している。

手法
著者は、群論的な構成と数論的力学系の解析を組み合わせて用いている：

1. 反復 wreath 積の一般化: 本論文は、任意の集合 $S \subseteq \text{Sym}(d)$ に対して反復 wreath 積 $W_S$ の定義を拡張している。これにより、これらの集合の不動点割合に関する漸化式を確立し、特性多項式 $f_S(x)$ を導出している。FPPは、この多項式の $[0, 1]$ における最大の固定点であることが示されている。
2. 正則分岐群 ($G^P_Q$) の構成: 部分群 $Q \triangleleft P \leq \text{Sym}(d)$ に対して、新しい群の族 $G^P_Q$ を構成している。これらの群は、任意の頂点の子供への作用が $P/Q$ の同一の剰余類に属する自己同型形からなる。$Q$ が推移的であれば、これらの群は正則分岐である（したがって正のハウスドルフ次元を持つ）ことを本論文は証明している。
3. FPP の明示的な計算: 特性多項式の手法を用いて、FPP を $P/Q$ の剰余類に関連する反復 wreath 積の FPP の平均として導出する。
4. 算術的実現: 構成された群は、単一臨界多項式 $f(x) = x^d + c$ の反復ガロア群に関連付けられている。超越元 $t$ の前像に対するガロア作用を分析することにより、特定の $K$ および $c$ の選択において、算術的反復ガロア群 $G_\infty(K, x^d+c, t)$ が構成された群 $G^P_Q$ と同型であることを示している。

主要な貢献と結果

• 定理 1 (主結果): 体 $K$ ($\text{char}(K) \nmid d$) 上のポストクリティカル無限単一臨界多項式 $f(x) = x^d + c$ に対して、算術的反復ガロア群 $G_\infty(K, x^d+c, t)$ は正則分岐である。

  • そのハウスドルフ次元は $H(G) = \frac{\log(d)}{\log(d!)}$ と明示的に計算される。
  • その不動点割合は次のように与えられる：
    $$FPP(G) = \frac{\#\{a \in I : a - 1 \in (\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^\times\}}{\Phi(d)}$$
    ここで $I$ は $(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^\times$ におけるガロア群 $\text{Gal}(K(\xi)/K)$ の像である。
  • 決定的な発見: $K = \mathbb{Q}$ かつ $d$ が奇数である場合、不動点割合は正となる。具体的には $FPP = \prod_{p|d} \frac{p-2}{p-1}$ である。これは、二元木以外の次数において、正のハウスドルフ次元と正の FPP を併せ持つレベル推移的な群の最初の例を提供する。

• 定理 2 (一般的な族): $d = 2^n r$ ($r$ は奇数) で $Q = C_2^n \times C_r$ である場合の、より広範な正則分岐群 $G^P_Q$ の族を構成している。これらの群もまた正のハウスドルフ次元を示し、$d \not\equiv 2 \pmod 4$ のとき正の不動点割合を示す。

• 定理 3 (反復 wreath 積の不動点割合): 本論文は、任意の反復 wreath 積 $W_S$ ($S \subseteq \text{Sym}(d)$) の FPP を計算するための一般的なアルゴリズムを提供している。FPP が、次数が最大 $d-1$ の多項式 $f_S(x)$ の最大の固定点であることを証明している。また、$S$ に含まれる要素の推移性と不動点特性に基づき、FPP が 0, 1, または 0 と 1 の間の値となる条件を特徴付けている。

• 予想の解決: 本論文は、正則分岐反復ガロア群のクラスにおいて、Jones の問い 1.1 に対し否定的に回答している。すなわち、「正のハウスドルフ次元はゼロの不動点割合を意味する」という条件は、次数 $d$ が奇数の場合、これらの群においては成立しないことを示している。

意義
本論文は、二元根付き木 ($d=2$) 以外で、レベル推移的な群が正のハウスドルフ次元と正の不動点割合を併せ持つ最初の例を提供したと主張している。これは、「『大きな』群の文脈において、これらの性質は互いに排他的である」という予想を直接的に覆すものである。

さらに、本研究は抽象的な群論（正則分岐群）と数論的力学系（反復ガロア群）の間の溝を埋めるものである。これらの算術的群の FPP を明示的に計算することで、本論文は、数論における不動点割合の主要な応用である、動力学的数列を割る素数のディリクレ密度を理解するための新しいツールを提供している。構成された群の族 $G^P_Q$ の構築と特性多項式 $f_S(x)$ の導出は、特定のケースやその部分群に限定されていた従来の成果を拡張し、木に作用する群における不動点割合を分析するための体系的な枠組みを提供する。

著者は、二元木 ($d=2$) のケースは以前に Boston によって扱われたが、奇数次 ($d \geq 3$) のケースは、これまでの文献において重大な障害となっていたことを指摘しており、本論文は単一臨界多項式の特定の構造と円分体の算術を利用することでこれを克服している。