技術的概要：組成データにおける欠損値補完のための Jensen-Shannon 発散に基づく k–NN アルゴリズム

1. 問題定義

組成データは、定数（通常は 1）に総和する非負の多変量ベクトルとして定義され、標準的な単体サンプル空間（$S^{D-1}$）に存在する。このようなデータにおける欠損値は、標準的な補完手法が単体の制限された幾何学構造を尊重できないか、ゼロ値を処理できない対数比変換を必要とするため、独自の課題を提起する。

Hron ら（2010）が提案した k–NN アルゴリズムなどの既存手法は、Aitchison 距離に依存している。しかし、Aitchison 距離は対数比変換を必要とするため、ゼロ値（丸めによるものか構造的なものを問わず）を含むデータセットには適用できない。さらに、従来のアプローチは特定の構造的パラメトリック構造を仮定するか、計算集約的な反復回帰モデルを必要とすることが多い。本論文は、以下の要件を満たす柔軟な非パラメトリック補完手法の必要性に対処する：

1. 対数比変換なしに単体上で直接動作する。
2. ゼロ値を自然に受け入れる。
3. 欠損パターンを処理する上で計算効率と柔軟性を提供する。

2. 手法

提案される解決策は、Fréchet 平均の一般化と適応的メカニズムを拡張した新しいJSD k–NN アルゴリズムである。

2.1 距離尺度：Jensen-Shannon 発散（JSD）

Aitchison 距離の代わりに、本アルゴリズムは組成ベクトル間の距離を測定するために Jensen-Shannon 発散（JSD）を利用する。

• 定義: 2 つの組成 $x$ と $y$ に対して、$JSD(x, y) = \sum_{j=1}^D \left( x_j \log \frac{2x_j}{x_j+y_j} + y_j \log \frac{2y_j}{x_j+y_j} \right)$。
• 利点: Aitchison 距離とは異なり、JSD はゼロ値を自然に処理する（$0 \log 0 = 0$ であるため）、ゼロ置換戦略を不要とする。これは距離（その平方根は三角不等式を満たす）であり、有界である。

2.2 JSD k–NN アルゴリズム

中核となるアルゴリズムは、6 段階の非パラメトリック手順に従う：

1. 選択: 最近傍の数 $k$ を選択する。
2. 分離: データを不完全ベクトル（$X_M$）と完全ベクトル（$X_O$）に分割する。
3. 正規化: 不完全ベクトルについて、観測された成分を総和が 1 になるように正規化する。同様に、完全ベクトルにおける対応する成分も正規化する。
4. 距離計算: 不完全ベクトルの正規化された観測成分と、すべての完全ベクトルとの間の JSD を計算する。
5. 近傍選択: 最小の JSD 距離を持つ $k$ 個の完全ベクトルを特定する。
6. 補完: $k$ 個の最近傍の平均を計算する。欠損成分は、$k$ 個の近傍における対応する成分の算術平均を求め、それらを正規化し、元の不完全ベクトルにおける観測成分の総和でスケーリングすることで推定される。

2.3 拡張 1：JSD $\alpha$–k–NN（Fréchet 平均）

柔軟性を高めるため、ステップ 5 で使用される算術平均は、Tsagris ら（2011）によって定義された標本 Fréchet 平均に置き換えられる：
$$\hat{\mu}_\alpha(x) = C \left\{ \left( \sum_{i=1}^n \frac{x_{ij}^\alpha}{\sum_{k=1}^D x_{kj}^\alpha} \right)^{1/\alpha} \right\}_{j=1,\dots,D}$$
ここで、$\alpha$ は調整可能なハイパーパラメータである。

• 性質: $\alpha \to 0$ において幾何平均に収束し、$\alpha = 1$ において算術平均となる。これにより、対数比変換なしにデータの分布に適応できる。

2.4 拡張 2：適応的 JSD $\alpha$–k–NN

欠損パターンが変化する可能性（例えば、特定の成分の大きさに関連した欠損）を認識し、著者は単一のグローバルなペアを使用するのではなく、データ内で観測された各異なる欠損パターンに対してハイパーパラメータ（$\alpha$ と $k$）を個別に調整する適応的アプローチを提案する。

2.5 ハイパーパラメータ調整

$k$ と $\alpha$ の最適値は、反復的 N 個除外交差検証プロトコルを通じて決定される。性能指標は、テストセットにおける真の値と補完された値との間の距離（ゼロが存在しない場合は Aitchison 距離、ゼロが存在する場合は JSD）である。

3. 主要な貢献

1. ゼロ許容補完: 本手法は、対数比変換を必要としない組成データ向けの最初の k–NN 手法であり、丸めによるゼロと構造的ゼロの両方をネイティブに処理する。
2. 非パラメトリック柔軟性: JSD と Fréchet 平均を利用することで、データ構造に関する制限的なパラメトリック仮定を回避する。
3. 計算効率: 本アルゴリズムは、競合する反復回帰ベースの手法（特に robCompositions パッケージ内のもの）よりも著しく高速である。
4. 適応的フレームワーク: 適応的メカニズムの導入により、ハイパーパラメータを特定の欠損パターンに調整可能にするが、論文はこのことが計算複雑性を追加すると指摘している。

4. シミュレーション研究の結果

著者は、Wines（ゼロなし）、Hydrochemical（ゼロなし）、Prey Fatty Acids（ゼロと種クラスを含む）、FADN（ゼロと集約/分割シナリオを伴う農業データ）の 4 つの実データセットを使用してアルゴリズムを評価した。

• 精度（ゼロなし）: Wines および Hydrochemical データセットにおいて、最適 $\alpha$ を用いた JSD $\alpha$–k–NN は、Aitchison 距離で測定された場合、標準的な JSD k–NN よりそれぞれ 12% および 2% 上回った。両方の提案手法は、競合する Hron ら（2010）のアルゴリズム（rob k–NN、lm、ltsReg）を上回った。
• 精度（ゼロあり）: Prey Fatty Acids データセットにおいて、JSD k–NN はユークリッド距離を用いたロバスト k–NN（Hron ら、2010）に対して 22% の性能向上をもたらした。JSD $\alpha$–k–NN はさらに 3.5% の改善を提供した。この特定のケースでは、適応的バージョンはさらなる利益をもたらさなかった。
• 分割シナリオ: 集約された作物データの分割をシミュレートした FADN データセットにおいて、JSD k–NN はロバスト k–NN より 15% 上回った。$\alpha$ および適応的拡張はこの点ではさらなる改善を示さなかった。
• 計算コスト: JSD k–NN はロバスト k–NN より著しく高速であった。速度向上係数は、サンプルサイズと次元性に応じて約6 倍から 25 倍であった。速度向上は、より高い次元とより低いサンプルサイズでより顕著であった。

5. 意義と主張

本論文は、提案されたJSD k–NN アルゴリズムが、組成データにおける欠損値補完のための堅牢で正確かつ計算効率の高い代替手段を提供すると主張している。その主な意義は、既存の対数比ベース手法の重要な限界であるゼロ値を修正なしに処理する能力にある。

著者は、適応的 JSD $\alpha$–k–NN拡張が欠損パターンにパラメータを適合させることで理論的な改善を提供するものの、実際には常に性能を大幅に向上させるわけではないと控えめに結論づけている。特に欠損パターンが希薄な場合、追加の複雑さが常に価値あるものとは限らないと示唆している。しかし、中核となる JSD k–NN と Fréchet 平均拡張（JSD $\alpha$–k–NN）は、現在の最先端手法と比較して一貫して優れた精度と効率を示している。

この研究は、ゼロと欠損値を伴う組成データが prevalent な生態学、農業、公式統計などの分野における実用的なツールとして位置づけられている。著者は、本手法が欠損がランダム（MAR）であると仮定しているものの、公式統計で一般的である欠損がランダムではない（MNAR）シナリオ下では評価されていないことを認めている。