On the Monotonicity of Higher-Fold Representation Functions

技術的要約：高次表現関数の単調性について

問題提起
本論文は、集合 $A \subseteq \mathbb{N}$ に対して、$n = a_1 + \dots + a_h$ （ただし $a_i \in A$）を満たす順序付き解の数として定義される、順序付き $h$ 重表現関数 $R_{A,h}(n)$ の単調性の性質を調査している。中心となる問いは、補集合 $\mathbb{N} \setminus A$ が無限集合である（すなわち、共無限集合である）ような集合 $A$ に対して、$R_{A,h}(n)$ が厳密に単調増加し得るか否かである。

歴史的には、Erdős, Sárközy, Sós は、$h=2$ の場合、厳密な単調性は $A$ が共有限（すなわち、補集合が有限）であることを意味することを証明した。$h \ge 3$ の場合、Dombi は、もし $\mathbb{N} \setminus A$ が無限であれば、$R_{A,h}(n)$ は最終的に厳密に単調増加することはないと予想した。この予想は、Shallit によって、オートマトン理論を用いて $R_{B,h}(n)$ が厳密に単調増加する共無限集合 $A$ を構成することで反証された。具体的には、Shallit は集合 $B = \{0\} \cup \{m \ge 1 : \text{底数4における } m \text{ の展開が 1 または 2 で始まる}\}$ を利用した。Shallit は、固定された $h \ge 3$ に対して $R_{B,h}(n)$ の厳密な単調性を確立したが、差分 $R_{B,h}(n+1) - R_{B,h}(n)$ の正確な成長率は未解決の定量的問題として残されていた。さらに、Dombi は、漸近密度 $\alpha \neq 1/2$（または具体的には $\alpha \neq 1$）を持つような集合の存在に関する問題を提起した。

手法
著者らは、生成関数、集合 $B$ の自己相似構造から導かれる漸化式、および畳み込みの議論を組み合わせて、差分関数 $\Delta_h(n) = R_{B,h}(n+1) - R_{B,h}(n)$ の境界を確立している。

1. 集合 $B$ の漸化式解析:
   集合 $B$ は、その指示関数列 $c_n$ によって定義され、$c_n$ は生成関数 $C(x) = \sum c_n x^n$ に関する関数方程式 $C(x) = (1+x+x^2+x^3)C(x^4) - x^3$ を満たす。この方程式を二乗および三乗することにより、著者らは二重（$\beta_n$）および三重（$\alpha_n$）表現関数の差に関する漸化式を導出している。

• 補題 2.1 & 2.2: これらの補題は、インデックス $n/4$ における値に基づく $\beta_n$ および $\alpha_n$ の再帰的公式を確立している。
• $\beta_n$ の境界: 補題 3.1 は、二重表現関数の差が $-1 \le \beta_n \le 2$ の範囲に収まることを証明している。
• $\alpha_n$ の境界: $\beta_n$ の境界と漸化式を用いることで、補題 3.2 は $n \ge 78$ に対して線形下界 $\alpha_n \ge n/5 + 4$ を確立し、一方で補題 3.3 は線形上界 $\alpha_n \le 3n + 2$ を提供している。

2. 畳み込みによる拡張 (Convolution Lift):
   $h=3$ から任意の $h \ge 3$ へ結果を拡張するために、著者らは畳み込み恒等式
   $$R_{p+q}(n) = \sum_{u=0}^n R_p(n-u)R_q(u)$$
   を利用している。これにより、差分に関する関係式が得られる：
   $$\Delta_{p+q}(n) = \sum_{u=0}^n \Delta_p(n-u)R_q(u) + R_p(0)R_q(n+1)$$
   ここで $p=3$ および $q=h-3$ と設定することで、$\Delta_h(n)$ の挙動は既知の $\Delta_3(n)$（すなわち $\alpha_n$）の挙動と $R_{h-3}(n)$ の成長によって制御される。

3. 集合 $C$ の構成:
   漸近密度に関する Dombi の問題に対処するため、著者らは集合 $C = \mathbb{N} \setminus \{2^j : j \ge 10\}$ を構成した。彼らは、取り除かれた集合に対応する生成関数 $G_C(x) = (1-x)^{-1} - D(x)$（ここで $D(x)$ は取り除かれた 2 のべき乗に対応する）を分析している。取り除かれた集合の疎性により、差 $R_{C,h}(n+1) - R_{C,h}(n)$ の明示的な推定が可能となっている。

主要な貢献と結果

1. 多項式オーダーの成長 (定理 1.1):
   本論文は、集合 $B$ について、差 $R_{B,h}(n+1) - R_{B,h}(n)$ が $n^{h-2}$ の次数で多項式的に成長することを証明している。具体的には、すべての整数 $h \ge 3$ に対して、すべての $n \ge 1$ を満たす定数 $c_h, C_h > 0$ が存在して、以下が成立する：
   $$c_h n^{h-2} \le R_{B,h}(n+1) - R_{B,h}(n) \le C_h n^{h-2}$$
   この結果は、$B$ が大きな隙間を持つ無限の補集合を持っているにもかかわらず、その表現関数が全整数集合 $\mathbb{N}$（ここで差は $\binom{n+h-1}{h-2} \asymp n^{h-2}$）と同様の漸近的挙動を示すことを裏付けている。

2. 任意の $h \ge 3$ に対する厳密な単調性:
   著者らは、$すべての$ $n \ge 0$ および $全ての$ $h \ge 3$ に対して $R_{B,h}(n+1) > R_{B,h}(n)$ であることを厳密に証明しており、これは、そのような集合の存在のみに焦点を当てていた Shallit の結果を改良したものである。

3. Dombi の密度問題の解決 (定理 1.2):
   本論文は、以下の性質を持つ共無限集合 $C = \mathbb{N} \setminus \{2^j : j \ge 10\}$ を構成している：

• 漸近密度が存在し、1 に等しい：$\lim_{n \to \infty} C(n)/n = 1$。
• 表現関数 $R_{C,h}(n)$ は、すべての整数 $h \ge 3$ に対して厳密に単調増加である。
  これは、以前知られていた密度 1/2 の例とは異なる、密度 1 の集合を提供することで、Dombi の問題を解決した。

意義
本論文は、共無限集合における加法的表現関数の理解を洗練させている。$h=2$ のケースで見られた単調性への障害が、$h \ge 3$ では（集合が「大きな」無限補集合を持っていたとしても）持続しないことを示している。差分関数の正確な多項式次数を確立することで、著者らは集合 $B$ が、表現の成長という観点において全整数集合の「滑らかさ」を保持していることを示している。さらに、集合 $C$ の構成は、このような集合の風景を広げ、厳密な単調性が漸近密度 1 と両立可能であることを示し、共有限と共無限の挙動の間にある隔たりを狭めている。

著者らは、任意の指定された密度 $d \in [0, 1)$ を持つ集合や、特定の $\liminf$ および $\limsup$ 密度を持つ集合に関する未解決問題を提示し、表現関数の単調性条件の完全な性格付けが依然として活発な研究領域であることを示唆して締めくくっている。