Improving Perturbation Theory with the Sum-of-squares II: Large Density-Density Terms

技術要約：二乗和（Sum-of-squares II）による摂動論の改善：大きな密度-密度項について

問題提起
本論文は、量子化学のハミルトニアンに対して自己整合的な二乗和（SOS）分解を適用する際の重大な制限事項に対処している。先行研究（文献 [1]）では、三次演算子（$\tau_i$）を摂動的に選択した次数6のSOS手法が、弱くランダムな四次相互作用を持つモデル・ハミルトニアンにおいて、標準的な次数4のSOS（2RDM）よりも速度と精度の両面で優れていることを示した。しかし、この手法は相互作用項が小さい（$O(\epsilon)$）という仮定に依存している。現実の量子化学ハミルトニアンには、強い「密度-密度」相互作用項（$U_{ij} n_i n_j$）や、密度に依存するホッピングおよびスピン-スピン相互作用が含まれることが多い。これらの項が大きい（$O(1)$）場合、三次演算子の摂動的な選択はこれらを正確に扱うことができず、前述の手法をこれらの用途に対して無効にしてしまう。核心となる課題は、計算効率と基底状態エネルギーの厳密な下限値を提供する能力を維持しつつ、これらの強い相互作用項を扱えるように自己整合的SOSフレームワークを拡張することである。

手法
著者らは、強い密度-密度項を収容するために、三次演算子（$\tau_i$）の定義およびSOS分解の構造を修正することを提案している。

1. 修正されたハミルトニアン構造: ハミルトニアンを $H = H_0 + \epsilon V$ と再定義する。ここで、$H_0$ はは明示的に二次部分（$H_{quad}$）と強い密度-密度相互作用項（$\sum U_{ij} n_i n_j$）を含む。項 $\epsilon V$ には、残りのより弱い四次相互作用が含まれる。
2. 繰り込みられたエネルギー分母: 従来の摂動的アプローチでは、三次演算子の係数は $1/(e_i + e_j + e_k + e_l)$ という形のエネルギー分母によって決定されていた。強い密度-密度項を扱うために、著者らはこれらの分母を相互作用エネルギーを含むように再定義している。具体的には、分母はモード $i, j, k, l$ が占有され、他が空である状態における $H_0$ の期待値となる：
   $$e_{i,j,k,l} = e_i + e_j + e_k + e_l + \sum_{\text{pairs}} U_{pair}$$
   これにより、演算子 $\psi_i + \tau_i$ が誤差 $O(\epsilon^2)$ まで基底状態を消滅させることが保証され、手法が $O(\epsilon^4)$ 精度のエネルギー下限を与えるために必要な「誤差特性」が保持される。
3. 閉包性と密度依存項の処理: 「閉包特性」（有効なハミルトニアンが同じクラスの四次ハミルトニアン内に留まることを保証する性質）を維持し、密度依存ホッピング項（$n_i \psi^\dagger_j \psi_k$）を扱うために、著者らはより一般的な分解構造を導入している。彼らは試行ハミルトニアンを $\sum \epsilon n_i V_i$ という形の項を含むように拡張する。
   新しい分解は、以下の形式をとる：$H = \sum_a c_a (|F_a|^2 + |\theta_a^\dagger|^2)$
   ここで、
   $$F_a = \psi_i + n_j \sum_{k \neq j} d_k \psi_k + \theta_a$$
   $$\theta_a = \tau_i + \mu + \epsilon n_j \nu$$
   $\mu$ と $\nu$ は、誤差特性を補正し、必要な密度依存項を生成するために選択される追加の三次演算子である。この構造により、反復的な自己整合的手順を通じてターゲットとなるハミルトニアン $H$ を再現することが可能になる。

主な貢献

• 強い相互作用への拡張: 本論文は、強い密度-密度相互作用項を含むハミルトニアンに対してSOS分解を生成する方法を提供している。これは、これまで自己整合的SOS手法を量子化学への適用における障壁となっていたものである。
• 一般化された演算子の定義: 著者らは、相互作用の強さを考慮した繰り込みられたエネルギー分母を用いて、三次演算子 $\tau_i$ の修正された定義を導入しており、これにより相互作用が摂動的に小さくない場合でも「誤差特性」が保持されることを保証している。
• 閉包特性の保持: 数演算子（$n_i$）と特定の三次補正（$\mu, \nu$）を含む補助項を導入することで、閉包特性を維持し、有効なハミルトニアンが反復解法に適した四次演算者であり続ける方法を実証している。
• ネットワークフロー定式化: 本論文は、この手法を用いて分解可能なハミルトニアンの範囲を特徴付けている。負の相互作用項（$U_{ij} < 0$）を持つハミルトニアンに対して有効な分解を構築する問題を、ネットワークフロー問題へと帰着させている。これにより、与えられた相互作用パラメータの集合が提案された分解によって扱えるかどうかを判断するための具体的な基準を提供している。

結果と主張
本論文は、提案手法が以下の特性を持つと主張している：

• 精度の維持: 密度-密度項が $O(1)$ のオーダーであっても、真の基底状態エネルギーに対して $O(\epsilon^4)$ の精度で基底状態エネルギーの下限値を与える。
• 効率の保持: すべての項が小さい（$O(\epsilon)$）場合と比較して、計算量は大幅には増加しない。なぜなら、高次の完全な半正定値計画法（SDP）を解く代わりに、行列の対角化と反復更新に依存しているからである。
• 特定の項の処理: 手法は密度-密度相互作用を正常に扱い、その副次的効果として、密度依存ホッピング項（$n_i(\psi^\dagger_j \psi_k + h.c.)$）およびスピン-スピン相互作用（密度-密度項の和に写像可能）を扱うことができる。
• 制限事項: 著者らは、現在の手法が特定の形式（粒子・ホール共役の後）でのみ密度依存ホッピングを扱うことを注記している。対生成（$n_i \psi^\dagger_j \psi^\dagger_k$）を含む項は含まれていないが、著者らはこれらが通常はより小さく、摂動的に扱えると示唆している。また、シングレット・ホッピング項は、二次基底状態を消滅させるという性質を共有しないため、この拡張では扱われていない。

意義
本研究の意義は、ランダムなモデル・ハミルトニアンにおける自己整合的SOS手法の理論的な成功と、実際の量子化学問題への実用的な適用との間の溝を埋めることにある。強い密度-密度相互作用という障壁を克服することで、本論文は、完全なSDPソルバーの計算コストをかけることなく、エネルギーの厳密な下限値を提供する手法の適用範囲を広げている。著者らは、この研究を先行研究の不可欠な続編として位置づけており、この非摂動的かつ摂動に導かれたアプローチによって、これまで到達不可能であった物理的に関連性の高いハミルトニアンの取り扱いを可能にしている。