The Eichler--Selberg trace formula for Hilbert cusp forms, the class numbers of quartic CM fields, and their distributions

技術要約：ヒルベルト型カスプ形式のアイヒラー・セレクトレー公式、4次CM体の類数、およびそれらの分布

問題の所在
本論文は、狭義類数が1である実二次体上の正則ヒルベルト型カスプ形式の空間に対する、明示的なアイヒラー・セレクトレー（Eichler–Selberg）トレー公式の必要性に取り組んでいる。古典的な $\mathbb{Q}$ 上のモジュラー形式のトレー公式は、ヘッケ作用素のトレースを（虚二次体に関連する）フルヴィッツ類数に関連付けるが、ヒルベルト型モジュラー形式の直接的な類似物には、類数の一般化が必要となる。具体的には、著者らは、ヘッケ作用素がヒルベルト型カスプ形式に作用する際のトレースを、4次CM体（具体的には、実二次体 $F$ の拡大 $F(\sqrt{-n})$）の算術的不変量を用いて表現することを目指している。さらに、本論文では、これらの一般化された類数の分布および漸近挙来についても調査している。

手法
著者らは、アデール的自己共形形式論、軌道積分計算、および代数的数論を組み合わせて用いている。

1. 一般化されたフルヴィッツ類数: 全実体上の半整数重数のコーエン型のアイゼンシュタイン級数の構成（Suによる）に着想を得て、著者らは一般化されたフルヴィッツ類数 $H_F(n)$ を定義する。古典的なケースにおける $H(n)$ が虚二次体に関連するのに対し、$H_F(n)$ は4次CM体 $F(\sqrt{-n})$ の類数を通じて定義される。この定義には、拡大の類数、単数群の指数、およびアルティン記号を含む除数和が含まれる。
2. トレー公式の導出: 本論文の核心は、アイヒラー・セレクトレー・トレー公式（定理1.1）の導出である。
   • 著者らは、ヘッケ作用素のアデール的定式化、および全実体上の $GL(2)$ に対するトレー公式を利用する。
   • 以前の一般的な公式（例：Saito [Sai84]）に見られる個々の $p$ 進体上の複雑な軌道積分計算を避け、KoyamaおよびLim [KL06] の手法を適応させることで、楕円共役類に対する大域的軌道積分と一般化されたフルヴィッツ類数を直接結びつける。このアプローチにより、大域的軌道積分と一般化されたフルヴィッツ類数の間の直接的な関係が可能となる。
   • 証明は、実二次体の狭義類数が1であるという仮定に依拠しており、これにより算術商の構造と単数群の作用が簡略化される。
3. 分解能および分布の解析: 類数の分布を研究するために、著者らはヘッケ作用素の分解能トレー公式を導出する。これには、生成関数の解析、および等分布の結果を確立するためのタウバー型定理とチェビシェフ多項式の性質の適用が含まれる。
4. 数値的検証: 理論的結果は、$F = \mathbb{Q}(\sqrt{5})$ および $F = \mathbb{Q}(\sqrt{29})$ に対して数値的に実装されている。著者らはPARI/GPを用いて類数を無条件で（一般化リーマン予想を仮定せずに）計算し、トレー公式を既知のカスプ形式空間の次元およびサト・テイト分布に対して検証している。

主要な貢献と結果

• アイヒラー・セレクトレー・トレー公式 (定理1.1): 著者らは、$\kappa = (\kappa_1, \kappa_2)$ を1より大きい偶数とする空間 $S_\kappa(SL_2(\mathfrak{o}_F))$ に対するトレー公式を確立する。ヘッケ作用座 $T_{n,F}$ のトレースは、$t \in \mathfrak{o}_F$ に関する和として、一般化されたフルヴィッツ類数 $H_F(4n - t^2)$ とチェビシェフ多項式の積として表現される。
  $$\text{tr } T_{n,F} | S_\kappa = \frac{1}{2} \sum_{t \in \mathfrak{o}_F} H_F(4n - t^2) P_{\kappa_1}(t, n) P_{\kappa_2}(\sigma(t), \sigma(n)) + \text{補正項}$$
  この公式は、スペクトル側（トレース）と幾何学的側（4次CM体の類数）を明示的に結びつけている。

• 次元公式と類数関係: 系として、本論文はヒルベルト型カスプ形式の空間の次元公式（系1.3）を導出する。次元がゼロとなる場合（例：特定の判別式に対する重さ $(2,2)$）、トレー公式は、フルヴィッツやクロネッカーの古典的な関係に類似した、新しい類数関係（系1.5）を与える。

• 分布と等分布: 著者らは、一般化されたフルヴィッツ類数の加重平均に関する最適推定（系1.11）を証明し、等分布定理（定理1.12）を確立する。これは、素数 $p$ のノルムが増大するにつれて、正規化されたトレース（およびそれに付随する類数の和）の値が、サト・テイト分布に関連する $[-1, 1] \times [-1, 1]$ 上の特定の測度に関して等分布することを示す。

• 数値計算: 著者らは $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ および $\mathbb{Q}(\sqrt{29})$ に関する広範な数値データを提供している。

  • $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ については、重さ $(2,2)$ でトレースがゼロであること（空間が空であるため）を検証し、重さ $(8,8)$ および $(4,8)$ のヘッケ固有値を計算して、サト・テイト予想を確認している。
  • $\mathbb{Q}(\sqrt{29})$ については、特定の楕بティック曲線のモジュラリティに対して重さ $(2,2)$ のトレースを検証し、重さ $(2,6)$ の固有値を計算している。
  • これらの計算には、数百万個の一般化されたフルヴィッツ類数の計算が含まれており、本公式が実践的な数論的計算に対して実現可能であることを示している。

意義
本論文は、大域的軌道積分を一般化されたフルヴィッツ類数に直接関連付けることで、トレー公式の「透明な代替証明」を提供していると主張している。これにより、以前の著作に見られる局所的な軌道積分の技術的な複雑さを回避している。トレースを4次CM体の類数を用いて表現することで、著者らは、直接的な解析が困難なこれらの類数の分布を研究するためのツールを提供している。本研究は、クラス数計算を検証し、ヒルベルト型モジュラー形式のヘッケ固有値を研究するための計算フレームワークを提供しており、一般化リーマン予想に依存せずに類数データを生成する手法としても機能する可能性がある。著者らは、公式自体の存在は（Saitoの研究に続くものであり）本質的に新しいものではないが、その具体的な形式および4次CM類の分布への応用こそが新規の貢献であると述べている。