A generalised cross-ratio and limits of local heights

技術要約：一般化されたクロス比と局所高さの極限

問題設定
本論文は、直線上における4点の基本的な射影不変量である古典的なクロス比（比）を、高次元射影空間へと一般化する問題に取り組んでいる。具体的には、4つの線形部分空間（平面）の配置に対するクロス比を定義することを目的とする。ここで、一対の$k$次元平面（$A_1, A_2$）と、一対の$(n-k-1)$次元平面（$B_1, B_2$）を考え、これらは$A_i \cap B_j = \emptyset$を満たすものとする。

著者らは、この幾何学的不変量と算術的不変量、特にサイクル $A_1 - A_2$ と $B_1 - B_2$ の**増大高さペアリング（augmented height pairing）**との関係を調査している。核心となる問題は、アルキメデス的（複素数）および非アルキメデス的（離散付値）な設定の両方において、このペアリングが退化（極限）の下でどのように振る舞うかを理解することである。著者らは、増大高さペアリングのアシンプトティック（漸近的）な挙動が、この一般化されたクロス比の付値によって支配されており、その極限値が、交差する配置において定義される「退化したクロス比」に対応することを確立することを目指している。

手法
手法には、代数幾何学、ホッジ理論、および交差理論の道具が組み合わされている。

1. 代数的定義: 著者らは、外積代数を用いて一般化されたクロス比を定義する。$V$を$(n+1)$次元ベクトル空間とし、部分空間 $\hat{A}_i \subset V$ および $\hat{B}_j \subset V$ に対して、最高次外積の生成元 $\det \hat{A}_i$ および $\det \hat{B}_j^\perp$（双対空間における零化イデアル）を利用する。クロス比は、これらの生成元間のペアリングの比として構成され、基底の選択に依存しないことが保証されている。
2. ホッジ理論的解釈: 複素数体上において、著者らはクロス比を混合ホッジ構造（MHS）の圏における拡大類（extension class）に関連付ける。彼らは、増大高さペアリングを、特定のコホモロジー群 $H^{2k+1}(\mathbb{P}^n \setminus (B_1 \cup B_2), A_1 \cup A_2)(k+1)$ の拡大類として特定している。
3. 包含対応（Incidence Correspondence）: 高さペアリングとクロス比の等価性を証明するために、著者らはグラスマン多様体の$k$平面と射影空間の間の包含対応を構成する。彼らは、当該の配置のコホモロジーと、"禁止された" $B$平面の軌跡に関するグラスマン多様体のコホモロジーとの間の同型性を実証する。
4. DVR上の交差理論: 非アルキメデス的なケースでは、離散付値環（DVR）上で議論を進める。著者らは、サイクルのザリスキー閉包の交差次数を計算するために、Fultonの交差理論を利用する。格子（lattice）の包含写像のスミス標準形を分析することにより、遷移行列の行列式の付値が、クロス比の付値に対応することを示す。
5. 退化した配置: 平面が交差する極限を扱うために、著者らは「退化したクロス比」を導入する。これには追加のデータが必要となる。すなわち、交差部分の行列式と商空間の行列式との間の同型である。著者らは、このデータを固定するために、「極限摂動（limit perturbation）」（族の変形によって誘導されるもの）と「算術的摂動（arithmetic perturbation）」（数体上の整なモデルによって誘導されるもの）を定義する。

主要な貢献と結果

• 定理 A (複素数の場合): $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ におけるサイクル $A_1 - A_2$ と $B_1 - B_2$ の増大高さペアリングは、一般化されたクロス比 $(A_1, A_2; B_1, B_2)$ に正確に等しい。これは、直線上の点に関する既知の結果を高次元へと一般化したものである。その証明は、帰納法ではなく、対応（correspondence）を用いた。
• 定理 B (非アルキメデス的な場合): 付値環 $R$ を持つ離散付値体上で、サイクルのザリスキー閉包 $(A_1 - A_2) \cdot (B_1 - B_2)$ の交差次数は、クロス比の付値 $v_R(A_1, A_2; B_1, B_2)$ に等しい。これにより、クロス比の$p$進付値が配置の退化を測定することが確立される。
• 系 B' (漸近挙動): $t=0$ で退化する配置の正則なホロモーフィックな族に対して、アルキメデス的な高さペアリングの漸近展開（$\sim m \log |t|$）における主項係数 $m$ は、サイクルの中心ファイバーにおける交差次数である。これは、平面の退化に関するChenの予想を裏付けるものである。
• 定理 C (極限周期): $t \to 0$ におけるクロス比の正則化された極限は、誘導された「極限摂動」$c_{\text{lim}}$ に関して評価された、中心ファイバーの退化した配置の退化したクロス比に等しい。
• 系 C'' (算術的解釈): 中心ファイバーが類数1の数体上で定義されているとき、極限周期 $u(0)$ は、整な格子を通じて定義される「算術的クロス比」に関連付けられる。極限周期の対数は、極限摂動と算術的摂動の比を含む補正項によって、算術的クロス比の対数と異なる。

意義と主張
本論文は、高さペアリングの極限を理解するための統一的な「モチーフ的」枠組みを提供することを主張している。クロス比を一般化することにより、著者らは、これらの解析的な不変量の漸近的挙動が、代数的な交差数によって厳密に支配されていることを示している。

著者らは、本研究の結果が、平面の場合における退化した代数的に自明なサイクルの高さペアリングの発散率に関するChenの予想を裏付けるものであると述べている。さらに、本研究は、「極限周期」（漸近展開の定数項）の解釈を、単なる複素数としてではなく、無限小の変形データによって補正された、中心ファイバー上の退化したクロス比として提供するものである。

本論文は、定理AがGoncharovによる最近の結果と一致していることに触れつつ、対応を用いた独自の証明を提供している。著者らは、本研究を、曲線やノード的な退化に関する周期の極限に関する先行研究の一般化として位置づけ、これらの概念を任意の次元における混合周期へと拡張し、「極端に悪い」サイクルの退化をも許容するものであるとしている。また、結果は、第一著者の修士論文を適応させたものであり、交差次数定理については簡略化された証明が提示されている。