Anomalous entanglement scaling from eigenvector nonorthogonality in critical non-Hermitian free fermions

技術要約：固有ベクトル非直交性に起因する非エルミート臨界自由フェルミオンにおける異常なもつれスケーリング

問題提起
もつれエントロピーは、量子相や臨界点を診断するための普遍的な指標である。1次元（1D）のエルミート臨界系において、部分系の長さ $\ell$ に対するフォン・ノイマンもつれエントロピー $S_1$ は、$S_1 \sim (c/3) \ln \ell$ として対数的にスケーリングし、その係数は基礎となる共形場理論（CFT）のセントラルチャージ $c$ によって固定される。一方、非エルミート系（開いた量子系、利得・損失プロセス、およびポストセレクションされた測定軌跡に由来する）は、例外点や非エルミートスキン効果のような特異な現象を示すが、その臨界定常状態におけるもつれスケーリングに関する一般的な理解は不足していた。既存の研究では、負のセントラルチャージやパラメータ依存の係数を含む多様な挙動が示されているが、これらの異常な挙動を説明する統一的なメカニズムは、非エルミート自由フェルミオンの定常状態においては欠落していた。

手法
著者らは、臨界1D非エルミート自由フェルミオン鎖、特に非エルミートSu–Schrieffer–Heeger（SSH）モデルに焦点を当てて、その定常状態を調査している。定常状態 $|\Psi_S\rangle$ は、エネルギーの虚部 $\text{Im } E_\alpha$ が最大となる右固有状態 $|R_\alpha\rangle$ を選択する、非ユニタリ発展の長時間極限として定義される。

1. モデルと定常状態の定義: 系は、非対称なホッピング（虚数ゲージ場）を持つ二次形式のハミルトニアンによって記述される。定常状態は、$\text{Im } \varepsilon_m > 0$ であるすべての単一粒子右固有モードを充填することによって形成されるスレーター行列式に対応する。
2. もつれ計算: レニーもつれエントロピー $S_n$ は、相関行列法を用いて計算される。非エルミート系においては、相関行列は占有された右固有状態から構成される必要があるが、これらは一般に非直交である。そのため、物理的な密度行列 $\rho = |\Psi_S\rangle\langle\Psi_S|$ を定義するために、直交化ステップ（QR分解またはシューア分解による）が必要となる。
3. 解析的導出: 著者らは、「占有境界」（$\text{Im } E(k) = 0$ となる運動量）付近での相関行列の低エネルギー展開を行う。彼らは、この境界を横切る射影子の不連続性を分析する。
4. 数値的検証: 様々なパラメータセットおよびディスオーダー強度に対して、格子サイズ $L \le 65536$ の大規模な格子数値計算を行い、フィッティングされた対数係数を解析的予測と比較した。

主要な貢献と結果

• 異常スケーリングと「虚数」ディラック点:
  本研究は、もつれエントロピーが対数的にスケーリング（$S_n \sim \zeta_n \ln \ell$）する一方で、係数 $\zeta_n$ がエルミート的な意味での普遍性を持たないことを明らかにしている。代わりに、$\zeta_n$ は系のパラメータに対して連続的に変化し、単一のセントラルチャージでは再現できない一族を形成する。
  著者らは、この異常の起源を**「虚数」ディラック点**、すなわち、実部が分離したままの状態（$\text{Re } E(k)$ が分岐している状態）で、エネルギーの虚部が交差する点（$\text{Im } E(k) = 0$）にあると特定した。この点において、系は2つのブロッホ状態間を遷移する。

• 固有ベクトルの非直交性の役割:
  エルミート臨界点において、交差における固有ベクトルは直交しており、占有射影子の不連続性を最大にする。非エルミートの場合、虚数ディラック点における右固有ベクトルは非直交である。この非直交性は、占有スピノルの内積によって定義される重なり角 $\theta$ によって定量化される。
  この非直交性は、占有射影子の不連続性を1から $\cos \theta$ へと弱める。この「弱められた不連続性」が、もつれスペクトルにギャップを開き、対数係数 $\zeta_n$ を減少させる。

• 閉形式の係数:
  著者らは、重なり角 $\theta$ の関数としてのレニー係数 $\zeta_n(\theta)$ の閉形式の式を導出した。
  $$\zeta_n = \frac{2}{\pi^2} \int_{E_\theta}^\infty d\epsilon \frac{\cos \theta \tanh(\epsilon/2)}{\sqrt{\tanh^2(\epsilon/2) - \sin^2 \theta}} h_n\left(\frac{1}{1+e^{-\epsilon}}\right)$$
  ここで、$E_\theta = 2 \text{arctanh}|\sin \theta|$ である。これらの解析的な結果は、全ギャップレス領域およびすべてのレニー指数 $n$ において、格子数値計算と優れた定量的一致を示している。

• 加法性と一般化:
  この枠組みは、任意の1D臨界非エルミート定常状態へと一般化される。全対数係数は加法的であることが示されている：
  $$\zeta_n = \sum_{i=1}^m \zeta_n(\theta_i) + N_F \frac{1 + 1/n}{12}$$
  ここで、$m$ は（重なり角 $\theta_i$ を持つ）虚数ディラック点の数であり、$N_F$ は（標準的なカイラルフェルミオンの値を寄与する）単一バンドのフェルミ点数である。この公式は、$\text{Re } E(k) = 0$ の交差によって定義される非エルミート基底状態にも適用される。

• ディスオーダーに対する頑健性:
  重要な知見は、この対数スケーリングが弱い実オンサイト・ディスオーダーに対して頑健であることである。エルミートな無秩序自由フェルミオンは通常、アンダーソン局在（エリア則）相またはランダム・シングレット固定点へと流れ込むが、非エルミート定常状態は対数スケーリングを維持する。弱いディスオーダーは有効な重なり角 $\theta_{\text{eff}}$ を繰り込み、それによってもつれ係数を増大させるが、スケーリングの形式自体を破壊することはない。著者らは、各複素エネルギーが単一の伝搬チャネルによって支持されているため、複素エネルギースペクトルにおいて不純物後方散乱が存在しないことにこの理由を求めている。

意義
本論文は、臨界非エルミート自由フェルミオン定常状態におけるもつれスケーリングの一般的なメカニズムを提供する。対数係数の非普遍性が、境界効果や特定のモデルの特異な特徴ではなく、虚数ディラック点における固有ベクトルの非直交性に由来するバルク効果であることを確立している。これは、非エルミート臨界性を、エルミート臨界性（固定された $c$）や他の非エルミートシナリオ（例：測定誘起転移）から区別するものである。本研究の結果は、固有ベクトル束の幾何学的性質（重なり角）を直接もつれエントロピーに結びつけることで、これらの系におけるもつれの統一的な分類を提供し、このスケーリングが弱いディスオーダーに対して頑健であることを示しており、これはエルミートな無秩序系とは対照的な振る舞いである。