A singular profile for the relativistic heat cost and the special Lagrangian curvature equation

技術的要約：相対論的熱コストおよび特殊ラグランジュ曲率方程式に関する単一のプロファイル

問題設定
本論文は、相対論的コスト関数に基づく最適輸送を支配するモンジュ・アンペール型方程式の一般解の内部正則性を調査するものである。コストは、$|x-y| < a$ のとき $c(x, y) = \sqrt{a^2 - |x-y|^2}$、それ以外は $-\infty$ と定義される（ここで $a > 0$ は有限の輸送速度を表す）。関連する方程式は、$c$-正規写像の指定されたヤコビアンから導出され、無限勾配付近で非一様楕円型となる。

中心となる問題は、右辺が滑らかな場合（具体的には定数の場合）における解の鋭い正則性を決定することである。古典的な最適輸送理論（Ma–Trudinger–Wang (MTW) 条件の下）では、滑らかなデータに対して $C^\infty$ 正則性が得られることが多いが、相対論的コストはこのMTW条件に違反する。本論文は、滑らかなデータが存在する場合でも、解が特定の $\beta$ に対して $C^{1,\beta}$ になり得ないことを示すために、明示的な特異解を構成することを目的としている。また、正則性の正確な閾値を特定する。

手法
著者は、径方向対称性と力学系分析に基づいた構成的アプローチを採用している。

1. 径方向への簡約: 著者は、$\mathbb{R}^n$ 内の球体上の $u(x', t) = \sqrt{r(t)^2 - |x'|^2}$ というアンザッツ（仮定）を求める。このアンザッツをモンジュ・アンペール方程式に代入することで、問題は子午線プロファイル $r(t)$ に関する二階常微分方程式（ODE）へと簡約される。
2. 特異性解析: 初期条件 $r(0) = a$ および $\dot{r}(0) = 0$ を課すことにより、著者は原点において径方向因子 $A(t)$ が消失する退化を特定する。これにより、二階微分 $\ddot{r}$ が発散することを強制する。
3. 自律系の再定式化: 原点における退化を厳密に扱うため、二階ODEを位相変数 $s = \dot{r}$ を用いた一次自律系へと変換する。この系の右辺は $s=0$ において滑らかである。
4. 存在と漸近挙動: ピカール・リンデレフの定理を用いて、自律系の滑らかな解を確立する。その後、時間を反転させることで、原点付近における勾配 $s(t)$ の漸近挙動を導出し、$|s(t)| \sim |t|^{1/(2n-1)}$ となることを示す。
5. 検証: 構成されたプロファイルが、逆三角不等式（相対論的コストを用いる）を用いて $c$-凸性を証明し、スライシング議論を通じてモンジュ・アンペール測度の条件を確認することにより、一般解（アレクサンドロフ解）であることを検証する。
6. 特殊ラグランジュ曲率への適用: 次元 $n=2$ において、著者は、相対論的輸送方程式と特殊ラグランジュ曲率方程式の間に邱と周によって確立された関連性を利用する。自律系の初期条件を摂動させて特異性を回避することにより、滑らかな解の列を生成し、それが特異なプロファイルに一様に収束するようにする。

主要な貢献および結果

• 相対論的コストに対する鋭い正則性閾値: 本論文は、$\mathbb{R}^n$ ($n \ge 2$) の球体上の一般解 $u$ を構成する。この解は $C^{1, \frac{1}{2n-1}}$ クラスに属するが、$\beta > \frac{1}{2n-1}$ である任意の $\beta$ に対して $C^{1,\beta}$ には属さない。これにより、右辺のデータが定数（滑らか）であっても、相対論的コストに対しては指数 $\frac{1}{2n-1}$ が鋭いものであることが確立される。
• MTW理論との比較: この結果は、正則性理論における二分法を浮き彫りにしている。MTW条件の下での有界（粗い）密度を持つ最適輸送における鋭い閾値として指数 $\frac{1}{2n-1}$ が現れる（Liu [9]）一方で、本論文は、コストの幾何学がMTW条件に違反する場合、滑らかなデータであっても同じ指数が解の正則性に現れることを示している。これは、相対論的コストにおいては、ソース項の正則性をいくら高めても、この臨界指数を超えて解の正則性を改善することはできないことを意味する。
• 特殊ラグランジュ曲率における純粋内部推定の不在: この構成を二次元の特殊ラグランジュ曲率方程式（位相 $\Theta \in (0, \pi/2)$）に適用することで、著者は、滑らかなグラフ解の列を生成し、それが $C^{1, 1/3}$ 内に一様に収束するが、$\beta > 1/3$ である $C^{1,\beta}$ には至らないことを示す。
• ヘッセ行列制御の失敗: 構成された極限は、特殊ラグランジュ曲率方程式において、内部ヘッセ行列が解の $C^0$ ノルムとデータのみによって制御されることはないことを示している。これは、平面における古典的なモンジュ・アンペール方程式において、そのような純粋な内部二階微分推定が成立することが知られていることとは対照的である。

意義
本論文は、コスト関数の幾何学が解の正則性を決定する主要な要因であり、滑らかなデータが存在する場合でも特異性を誘発し得ることを示している。具体的には、相対論的熱コストには、次元 $n$ が増加するにつれて Hölder 指数 $\frac{1}{2n-1}$ がゼロに近づくことから、次元に依存しない勾配の内部連続モジュラスが存在しないことを証明している。

さらに、特殊ラグランジュ曲率方程式への適用により、二次元における純粋内部推定の問題を解決している。滑らかな解の列が特異な極限へと一様に収束することを示すことで、本論文は、この方程式が $\beta > 1/3$ であるいかなる $\beta$ に対しても純粋な内部 $C^{1,\beta}$ 推定を持たないことを確立した。この結果は、非凸または幾何学的制約のある曲率方程式における内部正則性の繊細さを強調しており、これらを古典的なモンジュ・アンペール方程式のより堅牢な正則性理論とは区別するものである。