Explicit formulas of strict BV relaxed energies for polyconvex functionals with linear growth

技術的要約：線形成長を持つ多凸関数に対する厳密なBV緩和エネルギーの明示的な公式

問題設定
本論文は、ベクトル値関数 $u: \Omega \to \mathbb{R}^N$（ここで $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ は有界開集合、$n, N \ge 2$）に対して定義される、線形成長を持つ多凸変分汎関数（polyconvex variational functionals）の緩和について扱う。モデルケースは、被積分関数が勾配行列 $G \in \mathbb{R}^{N \times n}$ のマイナーに依存する面積汎関数である。

このような汎関数の $L^1$ 収束に関する緩和（$\tilde{F}_{L^1}$）はよく研究されているが、得られる緩和された汎関数はしばしば積分表示を持たず、局所性を欠く（すなわち、集合関数 $A \mapsto \tilde{F}_{L^1}(u, A)$ が劣加性的ではない）ことが知られている。この非局所性は、$L^1$ 収束が近似列に対して同一の近似列から複数の異なる極限カルテシアン・カレント（Cartesian currents）を生成する集中効果を許容することに起因する。

これらの欠点を克服するため、著者らは **$BV$ における厳密収束（strict convergence in $BV$）** に関する緩和（$\tilde{F}{BV}$）を分析している。この設定では、$L^1$収束とともに、導関数の全変動の収束も要求される。主な目的は、緩和された面積汎関数$\tilde{A}{BV}(u, \Omega)$が既に既知である場合を含め、広範なクラスの多凸被積分関数に対して、$\tilde{F}_{BV}(u, \Omega)$ の明示的な積分表示公式を導出することである。

手法
著者らは、幾何学的測度論、特にカルテシアン・カレントの理論と、測度として定義された汎関数の連続性の結果を組み合わせて用いる。

1. カルテシアン・カレントと一意性: 分析は、滑らかな近似のグラフを整数カレントとして表現することに依拠している。重要な観察として、余 codimension $N=2$（すなわち、写像 $u: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^2$）において、厳密な $BV$収束は、近似列に関連付けられた極限カルテシアン・カレント$T$の一意性を保証することが挙げられる。これは、$L^1$ケースや高余次元（$N \ge 3$）において複数の極限カレントが存在し得る状況とは対照的である。
2. Reshetnyak の連続性定理: 中核となる技術的ツールは、Reshetnyak の連続性定理の拡張である。著者らは、カレントの列 $T_h$ が $T$ に弱収束し、かつその質量が収束する場合（$M(T_h) \to M(T)$）、多凸被積分関数 $f$ に関連するパラメトリック変分積分もまた収束する（$F_f(T_h) \to F_f(T)$）ことを証明している。
3. 近似戦略: $\tilde{F}_{BV}$ の明示的な公式を確立するために、著者らは特定の写像のクラスに対して、近似列 $\{u_h\}$ が厳密に $BV$で収束し、かつ関連するグラフ・カレント$G_{u_h}$が一意な最小質量を持つ最適なカルテシアン・カレント$T$ に収束するような回復列（recovery sequence）が存在することを確認する。緩和されたエネルギーの下半連続性と、Reshetnyak の定理から導かれた連続性を組み合わせることで、緩和されたエネルギーを、この一意なカレント上で評価されたパラメトリック積分と等置する。
4. プラトー問題の分析: 特定の写像クラス（0次同次写像および区分リプシッツ写像）に対して、著者らは平面的なプラトー問題に関する結果を利用する。境界データのホモトピー類の代数的構造を分析することで、最小曲面の質量が関連するカレントの質量と一致する条件を決定し、それが明示的な公式が成立するために必要な条件であることを示す。

主要な貢献と結果

• 主定理 (Theorem 1.1 / Theorem 3.7): 本論文は、$u \in BV(\Omega; \mathbb{R}^2)$ が、写像 $u$ を基礎とするすべてのカレントの中で質量を最小化する一意のカルテシアン・カレント $T$ を持つ場合（これは codimension $N=2$ において厳密 $BV$収束の下で満たされる条件である）、任意の連続な多凸被積分関数$f$ に対する緩和エネルギーが以下のように明示的に与えられることを確立している：
  $$\tilde{F}_{BV}(u, \Omega) = F_f(T)$$
  ここで、$F_f(T)$ は $T$ 上で評価された $f$ のパラメトリック変分積分である。

• 特定のクラスに対する明示的な公式: 著者らは、既存の緩和面積表示公式を利用して、最適なカレント $T$ の構造が既知である以下の3つの特定の写像クラスにこの主定理を適用している：

  1. $S^1$ へのソボレフ写像: $u \in W^{1,1}(\Omega; S^1)$ に対して、緩和されたエネルギーは、分布決定（distributional determinant）または特異性を検出する $(n-2)$-カレント $P(u)$ を用いて表現される。エネルギーギャップは、垂直カレント $P(u) \times [[D^2]]$ 上の積分として明示的に計算される。
  2. 0次同次写像: 写像 $u_\gamma(x) = \gamma(x/|x|)$ の形式において、緩和されたエネルギーは平面的な特異プラトー問題を含む。著者らは、エネルギーギャップが境界曲線に張られた特定のカレントの質量を通じて明示的に計算可能となるための十分条件（$\gamma$ のホモトピー類に関する性質 (H)）を提示している。
  3. 区分リプシッツ写像: ドメインの分割と界面のネットワークによって定義される写像に対して、境界データが接合点において性質 (H) を満たすという条件下で、ジャンプ面上の積分と接合点の寄与を含む公式を導出している。

• ボルテックス写像の $L^1$ 緩和: 本論文は、ボルテックス写像 $u_V(x) = x/|x|$ の $L^1$ 緩和に関する部分的な結果を提供している。十分大きな領域については、エネルギーギャップは標的空間内のディスク上に支持された垂直カレントの質量によって決定される一方、小さな領域については、ギャップはカテノイド（catenoid）状の曲面に起因することが示されている。著者らは、$L^1$ 緩和における非局所性がこれらのケースでも持続することに言及している。

意義と主張

本論文は、一般的な多凸関数に対する厳密 $BV$ 緩和エネルギーの明示的な積分表示公式を提供し、面積汎関数の既知の結果をより広いクラスの被積分関数へと拡張している。

• 局所性: 著者らは、余 codimension $N=2$ において、厳密 $BV$トポロジーが（$L^1$ トポロジーとは異なり）局所性を回復させること（緩和された汎関数がボレル測量の制限となること）を強調している。これにより、面積表示が既に確立されているケースに基づき、以前は一般の被積分関数に対して利用できなかった明示的な公式の導出が可能となった。
• 連続性の拡張: 本研究は、ソボレフの設定において Acerbi と Dal Maso によって観察された多凸エネルギーの連続性の性質を、$N=2$ における極限カレントの一意性を活用することで $BV$ 設定へと拡張するものである。
• 範囲: 結果は広範なクラスの被積分関数（多凸、線形成長）に対して有効であるが、一意の最適なカルテシアン・カレントが存在することに依存している。著者らは、$N \ge 3$ の場合や、特定の代数的条件（「ダブルエイト」の例など）を満たさない写像の場合には、極限カレントの一意性が失われる可能性があり、その場合、明示的な公式が成立しないか、さらなる調査が必要であることを明示的に認めている。

論文は、プラトー問題における最小注入の一意性が失敗する場合（例：ダブルエイト曲線）への結果の拡張、および小さな領域におけるボルテックス写像の $L^1$ 緩和の正確な特徴付けに関する未解決問題を示して締めくくられている。