Stationarity is not enough: tightness of the quantum mechanical bootstrap and the copositive cone

技術要約：定常性は十分ではない：量子力学的ブートストラップのタイトネスと余正値錐

問題提起
本論文は、量子力学における数値的ブートストラップ法の「タイトネス（緊密性）」を調査している。ブートストラップ法は、ハミルトニアン $H$ と演算子代数から導かれる一連の線形制約に対して、候補状態の正値性をテストすることでスペクトルを決定する。これは微分方程式を解くことなく行われる。この切断されたモーメント問題における中心的な微妙な差異は、以下の2つの正値条件の区別にある：

1. 平方和 (Sum of Squares, SOS): 多項式スパン内のすべての演算子 $A$ に対して $L(A^\dagger A) \geq 0$ であることを要求する。
2. 点別非負性 (Pointwise Nonnegativity): $\mathbb{R}^d$ 上の至る所で非負であるすべての多項式 $f$ に対して $L(f) \geq 0$ であることを要求する。

これら2つの条件は、1次元においては（すべての単変数非負多項式はSOSであるというヒルベルトの結果により）一致するが、2次元以上では乖離する。本論文は、この数学的なギャップ（SOS錐と非負錐の間の差）が、物理的な量子系において実際に実現されるのか（すなわち、「偽の」モーメントベクトルがすべてのブートストラップ制約を満たしながらも、物理的な状態に対応しないという事態が起こるのか）を問うている。

著者は、2種類の緩和（relaxation）を区別している：

• 定常ブートストラップ (Stationary Bootstrap): $\langle [H, O] \rangle = 0$ を課す（熱平衡状態および混合状態に対して有効）。
• 固有状態ブートストラップ (Eigenstate Bootstrap): さらに $\langle OH \rangle = E \langle O \rangle$ を課す（エネルギー固有状態に対してのみ有効）。

手法
著者は、数値的な丸め誤差を避けてすべての主張を厳密に検証するために、厳密な有理演算を用いている。

1. 反例の構成: ブートストラップ制約を半正定値計画問題 (SDP) として定式化する。定常的なケースでは、特定の切断レベルまですべての制約を満たすが、全域で非負である多項式に対して負の期待値を与えるモーメントベクトルを探索する。
2. 分離する証拠 (Separating Witnesses): モーメントベクトルが非物理的であることを証明するために、「分離する証拠となる多項式」 $p \geq 0$ （ただし $\mathbb{R}^d$ 上で $p \geq 0$）を構築し、$L(p) < 0$ となることを示す。
3. 対称性の簡約: 正負の反転 ($q_j \to -q_j$) および座標の置換に対して不変なポテンシャルを利用する。これにより、一般性を失うことなく、実行可能集合および証拠の探索空間を縮小できる。
4. 余正値錐 (Copositive Cone) の解析: 高次元において、この問題は余正値錐（$x \geq 0$ なるすべての $x$ に対して $x^T W x \geq 0$ となる行列 $W$ の集合）に関連付けられる。著者は、正定値行列と非負行列の和の錐 ($P+N$) と余正値錐との間に存在する既知のギャップ（次元 $d=5$ で初めて現れる）を利用している。

主要な結果

1. 定常ブートストラップはタイトではない (定理1)
2次元の4次のダブルウェル・ポテンシャル ($d=2$) において、切断レベル $K=3$ のとき、著者は以下の性質を持つ有理数成分のモーメントベクトル $m$ を提示している：

• すべての定常制約 $\langle [H, O] \rangle = 0$ を正確に満たす。
• 正定値なモーメント行列 $M_3$ を持つ。
• 特定の多項式 $p_c$（$\mathbb{R}^2$ 全域で非負であるもの）に対し、負の期待値 ($L_m(p_c) \approx -0.086$) を割り当てる。
• したがって、$m$ はいかなる量子状態（純粋状態または混合状態）のモーメント列でもない。
• 重要な詳細: 多項式 $p_c$ は平方和ではない。もしそれがSOSであれば、正定値性 $M_3 > 0$ によって $L_m(p_c) \geq 0$ が保証されていたはずである。失敗の原因は、 $d \geq 2$ においてSOS錐が非負錐よりも厳密に小さいことにある。

2. 固有状態ブートストラップはタイトであるように見える (系統的探索)
固有状態制約 $\langle OH \rangle = E \langle O \rangle$ を加えると、この違反は消失する。著者は以下の設定を用いて系統的な探索を行った：

• 次元 $d=2, 3, 5$。
• 切断レベル $K=3, 4$。
• 様々なポテンシャル（Robinsonの形式やHornの行列など、既知の非SOS形式を利用するように設計されたものを含む）。
  これら全てのテストされた設定（ハミルトニアンが下方に有界で離散スペクトルを持つ場合）において、分離する証拠は見つからなかった。唯一の例外は、$K=2$ のケースであり、次数予算が低すぎるために固有状態制約が実質的に消失し、エネルギーの正規化のみが残った場合であった。

3. メカニズム：有界な運動量モーメント
本論文は、固有状態の場合にギャップが生じない物理的なメカニズムを特定している。

• 定常的な緩和では、高次の運動量モーメント（例：$\langle p^4 \rangle, \langle p^6 \rangle$）が実行可能集合上で非有界である。定理1で見つかった偽の点は、位置に基づく制約を満たしつつ非負性を破るために、膨張した運動量モーメントを利用している。
• 固有状態制約 $\langle OH \rangle = E \langle O \rangle$ は、これらの高次運動量モーメントを実質的に有界にする。
• 命題 1: $d=2, K=3$ の4次ポテンシャルにおいて、固有状態制約は、エネルギー $E$ とポテンシャルの最小値に依存した $\langle p^4 \rangle$ の明示的な境界を導く。この境界により、モーメントベクトルがSOS錐と非負錐の間の領域へと脱出することを防いでいる。

4. 余正値性と次元性
高次元においてなぜ違反が現れ得るのかについて、著者は分析を行っている。

• $d=5$ において、SOS錐と非負錐の間のギャップは、$P+N$ 錐と余正値錐（Hornの行列）の間のギャップに関連している。
• $K=2$ において、ブートストラップは $P+N$ への所属を証明するが、証拠が余正値錐内にあり $P+N$ の外にある場合、違反が生じる可能性がある。
• $K=3$ において、ブートストラップはパリロの階層のより高いレベル（$K_1$）への所属を証明する。著者は、Hornの行列が $K_1$ の内部にあることを示しており、これが対称なポテンシャルにおいて $d=5$ で違反が見つからなかった理由である。

意義と主張
本論文は、以下の貢献に関する主張を行っている：

• 未解決問題の解決: 定常ブートストラップ緩和が $d \geq 2$ においてタイトではないことを、厳密な有理演算による最初の厳密な証明を提供した。これは、定常制約を満たし、かつモーメント行列が正であることを示すだけでは、物理的な状態を保証するには不十分であることを示している。
• 緩和の区別: 固有状態制約は単なる精緻化ではなく、運動量モーメントを制限することによって実行可能集合の幾何学的構造を根本的に変え、SOS錐と非負錐の間のギャップを閉じるものであることを強調している。
• 既存理論の限界: 本結果は、Weyl代数（$[q, p] = i$）がアルキメデス条件（有界演算子）を満たさないため、非可換多項式最適化の既存の収束理論の範囲外にあることを示している。
• 予想: 著者は、固有状態制約が運動量モーメントに対するアルキメデス型の境界（$\langle p^{2k} \rangle \leq C(E, k)$）を意味すると予想しており、これが十分な切断レベルにおいて固有状態ブートストラップのタイトネスを保証すると考えている。
• 実用的な診断法: 将来のブートストラップ研究のための診断テストを提案している。$d \geq 2$ で違反が報告された場合には、候補となるモーメントベクトルが既知の「非SOSな非負多項式」に対して負の期待値を持つかどうかを確認すべきである。

著者は固有状態の結果については謙虚な姿勢を保ち、それらを「系統的な数値的証拠」と呼び、使用した交互探索法が局所的であることを認めた上で、特定されたメカニズム（運動量モーメントの有界性）が観察されたタイトネスの強力な理論的根拠を提供していると主張している。