The Mathieu group $M_{23}$ is a Galois group over $\mathbb{Q}$

技術的要約：有理数体 $\mathbb{Q}$ 上のガロア群としてのマチュー群 $M_{23}$

問題提起
逆ガロア問題は、すべての有限単純群が有理数体 $\mathbb{Q}$ 上の有限ガロア拡大のガロア群として現れるかどうかを問うものである。1984年から1989年にかけて、26個の例外的な有限単純群のうち25個がガロア群として実現されたが、マチュー群 $M_{23}$ は唯一の例外として残っていた。$M_{23}$ を $\mathbb{Q}$ 上で実現しようとする過去の試みは、他の体（例えば $\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$、$\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$、または特定の数体 $F$）の上での実現に留まるか、あるいは $\mathbb{Q}(t)$ の正則拡大を生成することに失敗していた。本論文は、$M_{23}$ が実際に $\mathbb{Q}$ 上のガロア群であることを証明することにより、この問題を解決する。

手法
著者らは、剛性法（rigidity method）、数値的ベリ写像アルゴリズム、および代数的検証を組み合わせて用いている。

1. 標準的な剛性の失敗: 標準的な剛性法は、$M_{23}$ 内の共役類（共役類）の組 $(C_1, C_2, C_3)$ であり、関連するニールセン・クラスのサイズが1であるもの（「剛直な」組）を見つけることに依存している。著者らは、$M_{23}$ においてそのような剛直な組は存在しないことを示している。任意の $G_\mathbb{Q}$-安定なマルチセットに対する最小のニールセン・クラスのサイズは7であり、これはクラス $\{2, 23A, 23B\}$ に対応する。
2. 非剛直な組とフルヴィッツ空間: 剛直な組の代わりに、著者らは組 $\{2, 23A, 23B\}$ を利用する。リーマンの存在定理は、分岐集合 $S = \{0, \sqrt{-23}, -\sqrt{-23}\}$ 上で、局所モノドロミーがこれらのクラスに含まれるような、$\mathbb{P}^1_\mathbb{C}$ の $M_{23}$ 被覆がちょうど7つ存在することを意味する。このような被覆の点安定化群による商は、種数4の曲線 $X_C$ を与える。
3. 数値的ベリ写像の計算: BelyiDBパッケージ（HejhalおよびStarkに触発されたKlug, Musty, Schiavone, Sijsling, Voightによるアルゴリズムを実装したもの）を用いて、著者らは当該のニールセン・クラスに関連する7つの曲線 $X_C$ を数値的に計算する。これには、高精度での微分形式の冪級数展開の計算が含まれる。
4. 代数的認識: 計算された曲線の係数は、PSLQアルゴリズムを用いて代数的数として認識される。驚くべきことに、著者らはこれら7つの曲線のうち1つのモジュライ体の体であるものが $\mathbb{Q}$ であることを見出した。これは、ガロア群 $G_\mathbb{Q}$ が7つの集合に対して推移的に作用するという予想に反するものである。この不動点により、曲線は $\mathbb{Q}$ 上に定義されたモデル $X$ へと降下（descent）することが可能になる。
5. 拡大の構成:
   • 著者らは、$\mathbb{P}^3$ における2次形式と3次形式の完全交差として、種数4の曲線 $X_K$（ここで $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-23})$）の標準的なモデルを構成する。
   • 曲線 $X$ 上の有理関数 $u$ および $v$ を計算し、次数23の写像 $t: X \to \mathbb{P}^1$ を定義する。
   • 関数体 $K(X)$ を分析し、小さな素数における線形代数を適用することで、変数 $V$ に関する次数23の多項式 $F(T, V) \in \mathbb{Q}[T, V]$ を再構成する。
6. ガロア群の検証:
   • 幾何学的モノドロミー: 分岐点における局所モノドロミー（$\pm\sqrt{-23}$ における23-サイクル、および0における特定のサイクル型）は、幾何学的モノドロミー群 $G_{geom}$ が $M_{23}$ を含むことを示唆している。
   • 算術的モノドロミー: 多項式を31を法として特殊化し、Magmaを用いて算術的モノドロミー群が $M_{23}$ であることを証明することで、$G_{arith} = M_{23}$ であることを示す。$M_{23}$ は $S_{23}$ のいかなるより大きな部分群にも正規部分群ではないため、$G_{geom} = G_{arith} = M_{23}$ となる。

主要な貢献と結果

• 定理 1.1: $\mathbb{Q}$ 上のガロア群として $M_{23}$ を持つガロア拡大が存在する。
• 定理 1.3: $M_{23}$ をガロア群として持つ $\mathbb{Q}(t)$ 上の正則なガロア拡大が存在する。これはより強い結果であり、ヒルベルトの既約性定理を通じて、$\mathbb{Q}$ 上に無限個のそのような拡大が存在することを意味する。
• 明示的な多項式: 著者らは、有理数係数を持つ明示的な次数23の多項式を提供している。
  • 例 1.2: 分裂体が $\{2, 3, 23\}$ の外で分岐しない $M_{23}$ 拡大となる多項式 $f(x)$。
  • 例 3.7: $\{2, 7, 23\}$ の外で分岐しない、より低い高さ（height）を持つ特殊化された $f(x)$。
• 系 1.4: これらの結果は任意の数体 $k$ にも拡張され、任意の例外的な有限単純群 $G$ に対して、$k(t)$ の正則な $G$-拡大および $k$ の互いに独立な $G$-拡大の存在を証明している。

意義
本論文は、26個の例外的な有限単純群すべてを $\mathbb{Q}$ 上のガロア群として実現するというプログラムを完了させるものである。$M_{23}$ の実現は、最後に残された課題であった。この研究は、その結果自体だけでなく、その手法においても重要である。すなわち、標準的な剛性法の失敗を、フルヴィッツ空間上のガロア作用が不動点を持つ非剛直な組を利用することで回避することに成功した。これにより、数体上で定義された被覆を $\mathbb{Q}$ 上の被覆へと降下させることが可能となった。著者らは、この現象について概念的な説明を欠いており、「奇跡的（miraculous）」であると述べている。

著者らは、Magma計算機代数システムを用いて自らの主張を証明しており、そのコードを公開している。また、文献検索、コード生成、校正にはAIツールを使用したものの、最終的な数学的結果および検証はAIの支援なしに行われたことを明記している。