Effects of RG running in breaking $\mu-\tau$ reflection symmetry, conventional versus minimal seesaw

技術要約：従来の型および最小シーソーモデルにおける $\mu-\tau$ 反射対称性の破れに伴う RG 走行の効果

問題提起
$\mu-\tau$ 反射対称性は、大気混合角が最大（$\theta_{23} = \pi/4$）であり、ディラック CP 破れの位相が $\delta = \pi/2$ または $3\pi/2$ であることを予測する理論的枠組みである。これらの予測は、T2K や NO$\nu$a 実験からの現在の示唆とよく一致している。しかし、ニュートリノ振動データのグローバル解析は、これら正確な対称性の予測からの、わずかながらも有意な偏差を明らかにしている。RG（繰り込み群）走行は、高エネルギーのフレーバー対称性スケールから電弱スケールへとパラメータを進化させることで、このような対称性の破れを誘起する既知のメカニズムであるが、このメカニズムが最小シーソーモデル (MSM) において、従来の型 I シーソーと比較してどの程度機能するかについては、十分に研究されていない。具体的には、MSM の（一つの軽ニュートリノ質量固有値が消失することによる）減少したパラメータ空間が、RG 走行後の低エネルギーの実験的制約を再現するのに十分かどうかが不明である。

手法
著者らは、ニュートリノパラメータに関する結合された繰り込み群方程式 (RGE) を数値的に解くことにより、$\mu-\tau$ 反射対称性の放射的破れを調査している。本研究では、以下の手法的枠組みを採用している：

• 対称性の設定: $\mu-\tau$ 反射対称性は、高エネルギーのフレーバー対称性スケール（$\Lambda_{FS} = 10^{14}$ GeV）において厳密に成立していると仮定する。特定の CP 位相構成（ケース I: $\delta = \pi/2$; ケース II: $\delta = 3\pi/2$）を分析しており、これらは特定の離散的な位相値が割り当てられた Harrison-Scott 定式化に対応している。
• モデル比較:
  • 従来の型 I シーソー: 3 つの重い右行列（RH）ニュートリノを含み、厳密な対称性の下で 5 つの自由な高エネルギー・ニュートリノ・パラメータ（3 つの質量、2 つの混合角）を持つ。
  • 最小シーソーモデル (MSM): わずか 2 つの重い RH ニュートリノを含む。これにより、ランク 2 の有効ニュートリノ質量行列が導かれ、一つの軽ニュートリノ質量固有値が消失する（ノーマル・オーダーリングの場合は $m_1=0$、インバーテッド・オーダーリングの場合は $m_3=0$）。その結果、高エネルギーのパラメータ空間は 4 つの独立したパラメータに減少する。
• RG 走行: パラメータを $\Lambda_{FS}$ から電弱スケール（$\Lambda_{EW} \approx m_t$）まで進化させる。解析では、SUSY 破れスケール（$\Lambda_s$）の上方では最小超対称標準模型 (MSSM) を、下方では標準模型 (SM) を考慮する。3 つのベンチマークとなる SUSY 破れスケール（1 TeV、7 TeV、14 TeV）をテストする。
• 定量的指標: 両方の枠組みを比較するために、型 I と最小シーソーの予測間の太陽ニュートリノ質量二乗差（$\Delta m^2_{21}$）および大気ニュートリノ質量二乗差（$\Delta m^2_{32}$）の相対的な差を表す 2 つの無次元比 $R_{21}$ および $R_{32}$ を定義する。

主要な貢献と結果

1. 最小シーソー・パラメータ空間の生存可能性: 本研究は、MSM の減少したパラメータ空間（4 つの自由パラメータ）が、グローバルフィットの $3\sigma$ 範囲内で現在の低エネルギー・ニュートリノ振動データを再現するのに十分であることを示している。一つの質量固有値をゼロに固定して $\Lambda_{FS}$ で設定し、残りのパラメータを進化させることで、著者らはノーマル・オーダーリング (NO) およびインバーテッド・オーダーリング (IO) の両方のシナリオにおいて、実験的制約と一致する低エネルギーの値を与える入力セットを特定することに成功した。
2. RG 誘起の対称性の破れ: 数値解析により、RG 走行が自然に $\mu-\tau$ 反射対称性を破ることが確認された。対称性は $\Lambda_{FS}$ で保持されているが、進化させた $\Lambda_{EW}$ でのパラメータは、$\theta_{23}$ および $\delta$ の極大性からの偏差を示し、観測されたデータと一致している。
3. 質量二乗差の比較分析:
   • 太陽質量二乗差 ($\Delta m^2_{21}$): $\Delta m^2_{21}$ の RG 走行は、基礎となるシーソーの実現形態に強い依存性を示す。NO ケース I シナリオでは、型 I と最小シーソーの予測間の相対的な差（$R_{21}$）は相当大きく（$\Lambda_{EW}$ で最大 $\sim 25\%$ に達する）、対照的に NO ケース II では、一致度ははるかに高い（$\sim 2.8\%$）。IO シナリオでは、SUSY 破れスケールへの依存性が顕著であり、高い $\Lambda_s$ (14 TeV) において、$\Delta m^2_{21}$ の予測はフレーバー・スケールで大幅に収束する。
   • 大気質量二乗差 ($\Delta m^2_{32}$): $\Delta m^2_{32}$ の RG 走行は、シーソーの枠組みの選択に対して比較的鈍感である。相対的な差（$R_{32}$）は、すべてのシナリオを通じて一般に小さく（通常 $< 5\%$）、大気質量分裂が RH ニュートリノの減少に対して頑健であることを示している。
4. CP 位相構成の影響: CP 位相構成（ケース I 対 ケース II）の選択は、RG 誘起の偏差の大きさに大きな影響を与える。ケース I は、$\Delta m^2_{21}$ と $\Delta m^2_{32}$ の曲線がほぼ平行または重なっているケース II と比較して、一般に 2 つのモデル間の不一致が大きい。

意義
本論文は、その系統的な比較が、減少したパラメータ空間が $\mu-\tau$ 反射対称性の放射的破れにどのように影響するかについての、必要な定量的尺度を提供することを主張している。著者らは、MSM がニュートリノ質量とレプトジェネシス（leptogenesis）を説明できる経済的な枠組みである一方で、その現象論的な予測は従来の型 I シーソーと同一ではないことを強調している。具体的には、太陽質量二乗差は大気質量二乗差よりも、これら 2 つの実現形態を区別するためのより敏感なプローブとして機能する。結果は、ニュートリノ・パラメータの RG 走行が、基礎となるニュートリノ質量生成メカニズムに関する情報を持っていること、および高スケールにおける特定の CP 位相構成が、低エネルギーで観測される対称性の破れの程度を決定する上で重要な役割を果たすことを示唆している。