Generically Ordinary One-parameter Hyperelliptic Families are Dense

技術的要約：生成的に通常の1パラメータ超楕円族は稠密である

問題提起
本論文は、1パラメータの超楕円族の係数空間における「生成的に通常の（generically ordinary）」簡約の分布を調査するものである。具体的には、以下のアフィン方程式によって$t$直線上で定義される曲線 $C_{\vec{a}}$ の族を考える：
$$y^2 = x^d + a_{d-1}x^{d-1} + \dots + a_1x + t$$
ここで $d = 2g + 1$ であり、$g \ge 2$ である。また、$\vec{a} = (a_1, \dots, a_{d-1})$ は $\mathbb{Z}^{d-1}$ における係数ベクトルを表す。中心となる問いは、ほとんどすべての有理素数において、結果として得られる族 $C_{\vec{a}}$ が生成的に通常の簡約を持つような係数ベクトル $\vec{a}$ がどの程度一般的であるか、という点である。

本研究は、特定の族 $y^2 = x^d - dx + t$ に対してKatzの予想 [Kat18] を証明したZhuによる最近の結果 [Zhu26] を一般化するものである。本論文では、これを任意の整数係数ベクトルに対する全係数空間 $\mathbb{A}^{d-1}_{\mathbb{Z}}$ へと拡張し、任意の整数係数ベクトルの場合の通常の素数の密度を分析する。

手法
主要な道具は、普遍的ハッセ・ヴィット行列式多項式（universal Hasse–Witt determinant polynomial）であり、これは $\mathbb{Z}[\vec{A}, t]$ の元である $H_p(\vec{A}, t)$ として定義される。固定された素数 $p$ に対して、族 $C_{\vec{a}}$ が生成的に通常であるための必要十分条件は、特殊化された $H_p(\vec{a}, t)$ が $\mathbb{F}_p[t]$ において零多項式ではないことである。

核心となる技術的戦略は、$t$ に関する $H_p(\vec{A}, t)$ の主係数の分析である。著者は以下の手順を踏む：

1. 係数関数の構成： 多項式の係数を符号化する $B(z)$ の展開から導出される関数 $C_n(X)$ を定義する。
2. 行列式多項式の定義： 余剰類 $k \in (\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^\times$ によって決定される符号ベクトル $\vec{\delta}$ を用いて構築された、これらの係数関数からなる行列 $D_{\vec{\delta}}$ を導入する。この行列の行列式 $\Delta_k(\vec{A})$ は、重要な不変量として機能する。
3. 主係数の特定： $p \ge 2d-1$ かつ $p \equiv k \pmod d$ である素数に対して、$H_p(\vec{A}, t)$ の（$t$ に関する多項式としての）主係数が、$\Delta_k(\vec{A})$ の非零な倍数に $\text{mod } p$ で合同であることを証明する。
4. ザリスキー開集合の構成： これらの行列式多項式の非消滅性を利用して、ザリスキー開稠密部分スキーム $U_k \subset \mathbb{A}^{d-1}_{\mathbb{Z}}$ を定義する。

主要な結果

• 生成的稠密性 (定理 1.1 および 系 1.4): 整数係数ベクトル $\vec{a} \in U(\mathbb{Q}) \cap \mathbb{Z}^{d-1}$ に対して、明示的な境界 $B(d, \vec{a})$ より大きいすべての素数 $p$ について、族 $C_{\vec{a}}$ が生成的に通常となるような、ザリスキー開稠密部分スキーム $U \subseteq \mathbb{A}^{d-1}_{\mathbb{Z}}$ が存在する。したがって、このような生成的な $\vec{a}$ に対して、通常の素数の集合は自然密度1である。
• 有限体上の一様束縛 (定理 1.2): 任意の素数 $p \ge 2d-1$ に対して、係数空間における生成的に通常の族の軌跡は、ザリスキー開かつ稠密である。具体的には、それは $k_p$ を $p \pmod d$ の剰余類とする部分スキーム $U_{k_p, \mathbb{F}_p}$ を含む。
• $p \equiv 1 \pmod d$ の場合の強い結果 (定理 1.3): 素数 $p \equiv 1 \pmod d$ の場合、条件はさらに強力であり、すべての 係数ベクトル $\vec{a} \in \mathbb{F}_p^{d-1}$ が生成的に通常の族を与える。この場合、通常の軌跡は係数空間全体 $\mathbb{A}^{d-1}_{\mathbb{F}_p}$ である。
• 任意のベクトルに対する密度 (定理 1.5): 任意の整数係数ベクトル $\vec{a}$ （必ずしも生成的な開集合 $U$ に属さないもの）に対して、$\mathbb{Q}(\vec{a})(t)$ 上の $C_{\vec{a}}$ の通常の素数の集合は、少なくとも $1/[L:F]$（ここで $F=\mathbb{Q}(\vec{a})$ および $L=F(\zeta_d)$）の自然下限密度を持つ。$L(t)$ への基底変換後、その密度は1となる。

意義と主張
本論文は、孤立した例ではなく、全係数空間におけるハイパー楕円族の通常の性質に関する一様な理論を確立することを主張している。

• 一様性： 特定の係数に依存する境界を提供していた先行研究とは異なり、本論文は係数空間自体に対する一様な線形閾値 ($p \ge 2d-1$) を特定している（定理 1.2）。
• 一般性： 生成的に通常の族がいかに一般的であるかという問いを解決し、それらが係数のモジュライにおいて稠密な開集合を形成することを示している。
• 算術的密度： これらの族の通常の素数の定量的尺度（自然密度）を提供し、その密度を係数が生成する円分拡大の次数へと結びつけている。

著者は、固定された特殊化に対する境界 $B(d, \vec{a})$ は（行列式のノルムに起因して）特定のベクトルに依存するものの、開稠密集合 $U$ の存在により、「ほとんどの」族は十分に大きな素数に対して良好に振る舞うことを指摘している。本研究は、ハッセ・ヴィット行列式の明示的な構成と、その主係数の分析に基づいており、代数幾何学と算術統計学を橋渡しするものである。