Nonstandard Axiomatic Semantics
本論文は、ホーア論理に基づく公理的意味論がスコーレムのモデルと同様の非標準モデルを許容し、それゆえに操作的意味論を一意に定義できていないことを示し、標準的なトレースモデルに影響を与えることなくこの曖昧さを解決するために、追加の証明義務によってシステムを強化することを提案する。
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コンピュータサイエンスの世界には、プログラムが何をすべきかという「記述」と、それが実際にその通りに動作することを「証明」することとの間に、常に存在する緊張関係があります。数十年にわたり、研究者たちはソフトウェアを検証するために、ホーア論理（Hoare logic）と呼ばれるシステムに頼ってきました。このシステムは、一連の論理的な規則のように機能します。つまり、プログラムがある特定の状態から始まり、特定のステップに従うことが証明できれば、それは必ず望ましい状態に到達する、というものです。これは、数学的証明が定理の正しさを保証するのと同様に、コードにエラーがないことを保証するための強力なツールです。しかし、かつて数学者たちが、数の数え方の規則が、意図せずして奇妙で不可能な世界を描写してしまう可能性があることを発見したように、コンピュータサイエンスの研究者たちも、プログラムを検証するための規則が、プログラムの不可能な実行形態をも記述してしまう可能性があることを発見しました。問題は、私たちがソフトウェアを信頼するために用いている論理が、これらの不可能なシナリオを排除できるほど十分に精密であるかどうかです。
ニューヨーク大学のある研究者は最近、プログラムを検証するための標準的な規則が、実際には緩すぎることを示しました。彼らは、プログラムの正しさを証明するために用いられる論理が、「非標準的」な実行モデルを許容してしまうことを実証しました。簡単に言えば、その規則は、論理的には数学的に可能であっても、現実の世界では物理的に不可能な方法でプログラムが実行されることを許してしまっているのです。例えば、永遠にカウントアップし続けるプログラムを想像してください。標準的な見方では、それはゼロから始まり、1、2、3……と進み、決して止まることはありません。しかし、この論理は、私たちが観察を開始する前に、過去に無限の時間分だけ実行されていたバージョンや、私たちの通常の時間の理解とは一致しない、奇妙に拡張されたタイムライン上に存在するバージョンをも許容してしまいます。研究者は、現在の論理が、プログラムの正常で期待される振る舞いと、これら奇妙で非標準的な振る舞いの区別をつけることができないことを証明しました。これは重大な問題です。なぜなら、もし論理が現実の世界とこれらの不可能な世界を区別できないのであれば、その論理はプログラムが実際に何を行うのかを、一意に定義できていないことになるからです。
なぜこのようなことが起こるのかを理解するには、コンピュータプログラムにおけるループの検証方法に目を向ける必要があります。プログラムが、ある条件が真である間繰り返されるようなコードのブロックを繰り返すとき、その論理は「ループ不変量（loop invariant）」を要求します。これは、ループが繰り返されるたびに常に真であり続ける記述です。研究者は、多くのプログラムにおいて、コードの標準的で正常な実行に対しては真となるものの、これらの奇妙な非標準的実行に対しても真となるようなループ不変量を捏造できてしまうことを示しました。例えば、カウントアップするプログラムを考えてみましょう。論理は、ゼロから始まって上昇していくカウントに対して機能する証明を許容しますが、同時に、マイナス無限大から逆方向にカウントしているものや、人間には知覚できない隠れたステップが存在するタイムライン上のカウントに対して機能する証明をも許容します。論理がこれらの異なるタイムラインを有効なものとして扱うため、プログラムの単一で一意な意味を確定させることに失敗するのです。これは、通常の数列には含まれない「ゴースト（幽霊）」のような数をも許容してしまう、古い数の定義に似た曖昧さを持っています。
この論文は、単にこの曖昧さを指摘するだけでなく、それを修正する方法を提示しています。研究者は、プログラムが最終的に停止することを証明するために用いられる手法に着想を得て、検証プロセスにさらなる要件を追加することを提案しています。これらの新しい要件はフィルターとして機能します。それらは、プログラムの正しさの証明が、プログラムの実行が特定の標準的な時間経路を辿るものであることも示すことを要求します。具体的には、新しい規則は、もしループのステップを数えるならば、そのカウントは、隠れた無限の拡張を持たない、私たちが日常的に使用している標準的な数の進行に従わなければならない、と要求します。もしプログラムの振る舞いがそれらの奇妙な非標準的なタイムラインに依存している場合、新しい規則はその正しさを証明することに失敗します。これにより、論理は不可能な世界を無視し、私たちが関心を寄せる標準的な現実世界の実行のみに焦点を合わせるよう強制されます。
決定的なことに、研究者は、プログラムが正常に動作する場合、これらの新しい要件は自動的に満たされることを示しています。これは、今日のソフトウェア検証作業の大部分において、既存の証明が引き続き有効であることを意味します。新しい規則は、標準的なケースにおけるプログラムの正しさを証明する作業を困難にするものではありません。単に、不可能なケースが忍び込むための裏口を閉ざすものなのです。その結果、プログラムの意味の定義がより精密になります。これらの追加のチェックを加えることで、論理はついにプログラムの振る舞いを一意に記述できるようになり、私たちがプログラムの正しさを語るとき、それが時間やシーケンスの理解を超えた複数の可能性の集合ではなく、まさに特定の唯一の実行方法について語っていることを保証するのです。
この研究は、数学の基礎における深い問題と、安全なソフトウェアを書くという実務的な課題を結びつけています。数学者がかつて、不可能なバリエーションを排除するために数の定義を洗練させたように、この研究はプログラム実行の定義を洗練させています。これは、私たちがクリティカルなシステムの安全性を検証するために用いるツールが、単に論理的に一貫しているだけでなく、コンピュータが実際に動作する単一の標準的な現実に根ざしたものであることを保証するものです。この解決策が優れているのは、プログラム検証のシステム全体を書き直す必要はなく、単に論理を意図した経路に留めるためのガードレールを追加するだけであり、それによって、私たちのソフトウェアに対する信頼が、一意で明確に定義された真実に基づいたものになるようにしている点にあります。
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