The uniform Littlewood conjecture fails on a set of positive Hausdorff dimension

技術要約：一様リトルウッド予想は正のハウスドルフ次元を持つ集合において成立しない

問題提起
本論文は、バディ、フレゴリ、およびクラインボックによって導入された古典的なリトルウッド予想の強化版である、一様リトルウッド予想（ULC）を扱っている。古典的な予想は、すべての実数 $\xi, \zeta$ に対して $\liminf_{n\to\infty} n\|n\xi\|\|n\zeta\| = 0$ であることを主張する。ULCは、より一様なバージョンとして次のように提唱している：すべての実数 $\xi, \zeta$ に対して、
$$\lim_{Q\to\infty} Q \min_{1\le n \le Q} \|n\xi\|\|n\zeta\| = 0.$$
ULCはほとんどすべてのペア $(\xi, \zeta)$ に対して成立するが、シュライシュニッツは、対応する上限（limsup）が正となる特定のペアを構成することで、この予想が成立しないことを示し、反例の集合 $\mathcal{U}$ が稠密な $G_\delta$ 集合を含むことを示した。しかし、シュライシュニッツの研究は、$\mathcal{U}$ のハウスドルフ次元の境界を与えておらず、また、一方または両方の座標が有理近似困難（すなわち、連分数展開の偏商が有界である）である場合に反例が存在するかどうかについても確立していない。

手法
著者は、有界な偏商を持つ連分数に基づく、カントール集合のような反復的手法を用いて、反例の族を構成している。その手法は、以下の主要な技術的要素に基づいている：

1. 有界な偏商： 構成は、連分数展開の偏商が固定された整数 $A \ge 2$ によって抑えられている実数集合 $F_A$ に焦点を当てている。この集合の無理数部分のハウスドルフ次元を $\delta_A$ とする。
2. 積集合の推定： 有界な偏商を持つ組 $(p, q)$ のうち、$p/q$ が特定の区間に含まれ、かつある有界な集合内の $b$ に対して $r \equiv pb \pmod q$ となり、$r/q$ がターゲットとなる区間に落ちるような組 $(p, q)$ の数を推定することが重要なステップである。これには、有界なコンティナント（continuant）に関するヘンズリーの計数定理と、合成モジュラス上の指数和に関するヴィノグラードフの双線形評価が用いられている。
3. 長方形による構成： 著者は $\mathbb{R}^2$ における「許容可能な $T$-長方形」を定義している。これらは、第一座標に関する連分数柱状体（cylinder）と、第二座標に関する小さな区間の直積である。この構成により、これらの長方形内の点 $(\xi, \zeta)$ について、あるスケール $Q$ までの $n$ に対して積 $\|n\xi\|\|n\zeta\|$ がゼロから離れた状態に保たれることが保証される。
4. 質量分布原理： ハウスドルフ次元の下限を確立するために、著者は入れ子状のコンパクト集合の列を構成し、質量分布原理（補題5.2）を適用している。これには、構成された集合の分離特性の検証と、スケーリング・パラメータに対する（子となる）矩形の数のカウントが含まれる。

主要な貢献と結果

• 有理近似困難な座標を持つ反例の下限： 本論文は、第一座標が有理近似困難である反例の集合が正のハウスドルフ次元を持つことを証明している。具体的には、定理1.1は、$A \ge 2$ が $\delta_A > (\sqrt{21}-1)/4$ を満たすとき、以下が成り立つことを示している：
  $$\dim_H \big( \mathcal{U} \cap (F_A \times \mathbb{R}) \big) \ge \frac{2\delta_A - 1}{2}.$$
  $A \to \infty$ （ここで $\delta_A \to 1$）の極限を取ることで、著者は次を導出する：
  $$\dim_H \big( \mathcal{U} \cap (\text{Bad}_1 \times \mathbb{R}) \big) \ge \frac{3}{2}.$$
  これは、少なくとも一方の座標が有理近似困難である場合に反例が存在するかという、シュライシュニッツによる特定の未解決問題を解決するものである。

• 第一座標の全次元： 定理1.3は、$(\xi, \zeta) \in \mathcal{U}$ となるような $\zeta$ が存在する有理近似困難な数 $\xi$ の集合が、全ハウスドルフ次元（次元1）を持つことを確立している。より正確には、任意の空でない有界開区間 $U \subset \mathbb{R}$ に対して、$\dim_H(P \cap U) = 1$ である。ここで $P$ は、有理近似困難な数に制限された $\mathcal{U}$ の第一座標への射影である。

• 古典的な予想との区別： 本論文は、古典的な設定と一様な設定との間の根本的な違いを強調している。古典的なリトルウッド予想の反例の集合は（もし空でなければ）ハウスドルフ次元が 0 であることが知られているが（アインゼドラー、カトク、リンデストラウスによる）、一様設定における反例の集合は、正の次元を持つ族を含む。

意義
本論文は、一様リトルウッド予想の失敗が単なる位相的な現象（シュライシュニッツが示した稠密な $G_\delta$ 集合）ではなく、計量的な現象であることを示している。反例の集合は、ハウスドルフ次元の意味で「大きい」。有理近似困難な第一座標を持つ反例を構成することにより、著者は、一様な失敗が頑健であり、実数の最も構造化された部分集合（有界な偏商を持つ数）の中でさえ発生することを示している。これらの結果は、ULCの反例集合の大きさに関する最初の定量的な計量的境界を提供している。