Graviton vertex operators in the de Donder gauge and BRST descent

技術的要約：デ・ドンダース・ゲージにおけるグラビトンの頂点演算子とBRST降下

問題の所在
共変的な弦理論において、物理的な閉じた弦の状態は通常、BRSTコホモロジーによって特徴付けられる。質量ゼロのレベルでは、グラビトンは通常、横波かつトレースレス（無跡）な偏極テンソルによって記述される。非ゼロの運動量に対しては、トレース成分を残留ゲージ変換によって除去するためのトレースレス条件は有効であるが、この議論はゼロ運動量においては成立しない。先行研究（LiuおよびPolchinskiなど）は、グラビトンのトレース・セクターが振幅の因子分解、特に真空振幅やゼロ運動量において寄与することを示唆しており、これは共変的な振幅においてトレース・セクターを破棄することが不適切である可能性を示している。さらに、ゼロ運動量の閉じた弦の状態は、一般的な運動量の場合には見られないBRSTコホモロジーにおける微妙な問題を孕んでいる。著者らは、トレース成分を明示的に保持するために、トレースレス条件を要求せず、デ・ドンダース・ゲージ条件（$k_\mu \varepsilon_{\mu\nu} - \frac{1}{2}k_\nu \varepsilon_{\mu\mu} = 0$）のみを課す頂点演算子を構成することで、グラビトンのトレース・セクターの役割を再検討することを目的としている。

手法
著者らは、BRST降下形式法を用いて、非典型的なゴースト数を持つグラビトン頂点演算子、特にゴースト数3の演算子に焦点を当てて構築を行う。

1. 分解とゲージ選択： デ・ドンダース・ゲージにおける積分されたグラビトン頂点演算子（2次形式）から出発し、著者らは一般的な構成において偏極テンソルをトレースレス部分とトレース依存部分に分解することを避けている。代わりに、デ・ドンダース条件を満たす任意の対称テンソルに対して、BRST降下方程式を直接解いている。
2. BRST降下連鎖： 著者らは、グラビトンの完全なBRSTシーケンス（$\omega_2^0 \to \omega_1^1 \to \omega_0^2 \to \omega_0^3$）を導出する。非ゼロの運動量に対しては、補助的な零ベクトル $\bar{k}_\mu$ を利用して、演算子をトレースレス部分（$\varepsilon'_{\mu\nu}$）とトレース依存部分（$\Delta\varepsilon_{\mu\nu}$）に分解する。
3. ゴースト数3の構成： 以前のディラトンに関する研究に従い、ファデエフ＝ポポフの手続きを通じてディスク上の単一の閉じた弦の頂点の位置を固定することにより、ゴースト数3の頂点演算子（$\omega_0^3$）を構成する。これにより、特定のゴースト挿入因子が導入される。決定的なことに、単なるこの因子による乗算だけではBRST不変性を満たすには不十分であり、$\delta_B \omega_0^3 = 0$ を保証するために、弦の座標関数（$C(h), \tilde{C}(h), e(h)$）と特定の関数 $h(x)$ を含む追加の項が必要であることを特定した。
4. ゼロ運動量解析： 著者らは、補助ベクトルによる分解が定義不能になるゼロ運動量におけるこれらの演算子の挙動を明示的に検討する。彼らは、トレース依存のセクターが非ゼロの運動量においては自明なBRST連鎖（BRST完全または全微分）を形成するが、ゼロ運動量においては非自明かつ定義可能であることを示している。
5. 振幅の評価： トレース依存セクターの物理的な関連性をテストするため、D$p$ブレーンが存在する場合のディスク1点関数を評価する。世界体方向にはノイマン境界条件を、横方向にはディリクレ境界条件を課す。

主な貢献と結果

• 定義可能な演算子の構成： 本論文は、トレースレス条件を課すことなく、ゼロ運動量においても定義可能なゴースト数3のグラビトン頂点演算子を提示している。
• 非ゼロ運動量における自明性： 非ゼロの運動量に対して、著者らは、トレース依存のセクターが自明なBRST降下連鎖を形成することを示す。具体的には、2次形式および1次形式の演算子のトレース依存部分は、全微分を除いてBRST完全であり、0次形式の演算子はBRST完全である。これは、この領域においてトレースがゲージ除去可能であることと一致している。
• ゼロ運動量における不可欠な役割： この構成は、ゼロ運動量の振幅を評価する際、トレース依存の項を単に破棄することはできないことを明らかにしている。
• Dブレーン結合の検証： D$p$ブレーンに対するディスク1点振幅の計算において：
  • 従来の物質部分の頂点は、ノイマン方向のトレース（$\varepsilon_{aa}$）とディリクレ方向のトレース（$\varepsilon_{ii}$）の差（$\varepsilon_{aa} - \varepsilon_{ii}$）に比例する結果を与える。
  • トレース依存の項は、それらの和（$\varepsilon_{aa} + \varepsilon_{ii}$）に比例する結果を与える。
  • これらの寄与の総和により、ディリクレ成分（$\varepsilon_{ii}$）が相殺され、正確に期待される世界体成分への結合（$\varepsilon_{aa}$）が残る。
  • 全体の正規化を含む最終的な振幅は、有効作用から導出される標準的なD$p$ブレーン結合と一致する。

意義
本論文は、グラビトンのトレース依存セクターが非ゼロの運動量においてはBRST自明であるものの、共変的な枠組みの中で正しい物理的結合を得るためには、このセクターを保持することが不可欠であることを示している。これらの結果は、ある運動学的領域（非ゼロ運動量）では自明に見えるセクターが、別の領域（ゼロ運動量）における整合性のために必要となるという、BRSTコホモロジーにおける微妙な性質を浮き彫りにしている。著者らは、この表現が、ゼロ運動量解析に適さない従来のトレースレス条件に依存することなく、グラビトンとブレーンの結合の一貫した記述を提供するものであると結論付けている。本研究は、このトレース依存セクター、ゼロ運動量ディラトン・セクター、および閉じた弦の場理論との関係についてのさらなる調査を示唆している。