On the calculation of an integral introduced by Hubert Delange

技術的要約：ヒューバート・ドランジュによって導入された積分の計算について

問題提起
本論文は、等分布数に対する既約分数（互いに素な数）の漸近分布の研究において、ヒューバート・ドランジュ（Hubert Delange）が導入した一連の積分に関する評価を扱う。この積分は次のように定義される：
$$\int_0^1 \left( \frac{N(n, t)}{\phi(n)} - t \right)^{2q} dt$$
ここで、$n > 1$ および $q > 0$ は整数であり、$\phi$ はオイラーのファイ関数、$N(n, t)$ は分母が $n$ である既約分数のうち、区間 $]0, t]$ に含まれる個数をカウントするものである。ドランジュは $q=1$ の場合のこの積分の値を、$\omega(n)$（異なる素因数の数）を含む公式を用いて算出することに成功したが、$q > 1$ の場合には評価できないと述べていた。本論文の目的は、固定された $q > 1$ に対し、任意の $n$ についてこの積分の閉形式の公式を提供することである。

手法
著者は、メビウス関数による重み付きの、各約数 $d|n$ に対する $x/d$ の端数の和に関連する関数 $\nu_n(x)$ を導入することで、問題を再定式化する。積分は、次のように定義される同値な形式 $H_k(n)$ へと変換される：
$$H_k(n) := \int_0^1 (-\nu_n(nt))^k dt$$
ここで $k=2q$ である。手法は以下の分析的ステップを通じて進行する：

1. フラネル積分への還元： 著者は $H_k(n)$ を、周期的なベルヌーイ多項式の積の積分であるフラネル積分 $F(a_1, \dots, a_k)$ の $k$ 重メビウス和として表現する。
2. 対称性と簡約化： $k$ が奇数のとき $H_k(n) = 0$ であることが証明される。さらに、$H_k(n)$ の値は $n$ の平方フリー部分（$\text{rad}(n)$ と表記）のみに依存し、奇数 $m$ に対して $H_k(2m) = H_k(m)$ が成立する。これにより、一般的な問題は、奇数の平方フリー整数 $m$ に対する $H_k(m)$ の計算へと簡約される。
3. 互いに素な数の和との関連性： 定理 2.1 は、$H_k(n)$ と、互いに素な数の集合 $t(n)$ 上での $\nu_n(a)$ の冪和との直接的な関係を確立する。具体的には、$H_k(n)$ は $V_{k+1}(n) = \sum_{a \in t(n)} \nu_n(a)^{k+1}$ を用いて表現される。
4. モジュロ和による評価： $k=4$（すなわち $q=2$）の特定のケースにおいて、著者はフラネル積分への直接的なアプローチを用いる。これには、パラメータの最小公倍数に基づいて積分区間を細分し、積分を整数値のモジュロ和 $W_N(E)$ および $X_N(A)$ を用いて表現するプロセスが含まれる。これらの和は、一般化されたデデキント和に関連している。

主要な貢献と結果

• 一般的性質： 本論文は、$H_k(n)$ が奇数 $k$ に対して消滅すること、および $n$ から平方因子を除去することに対して不変であることを証明している。
• 素数冪の場合： 素数 $p$ に対して、ファウハバーの公式（Faulhaber's formula）を用いて $H_k(p^\alpha)$ の閉形式の公式を導出している。
• $q=2$ ($k=4$) の場合の簡約： $H_4(n)$ の評価問題は、和 $V_5(n)$ の計算へと簡約される。本論文では $V_i(n)$ の公式は $i \le 3$ までは既知であると述べているが、$V_4(n)$ については公式が見つかっていないことを明記している。しかし、命題 3.1 から導かれる線形方程式系を通じて、著者は $V_5(n)$ が $V_4(n)$ に依存することを示す。その結果、$H_4(m)$（$m$ は平方フリー）の評価は、未知の $V_4(n)$ 成分を包含する四重メビウス和 $W_4(m)$ の決定へと帰着される。
• $H_4(m)$ の明示的な公式： 定理 3.1 は、次の分解を与える：
  $$H_4(m) = W_4(m) + \frac{1}{60m} \left( \frac{\phi(m)}{m} \right)^3 (2\phi(m) - 5m^2\omega(m))$$
  ここで $W_4(m)$ は、4次のフラネル積分の四重メビウス和として定義される。
• フラネル積分の公式： 本論文は、補助的な和 $X_N(A)$（フラネル積分を決定するもの）の閉形式の公式を、集合 $A$ の濃度が $|A| \le 3$ である場合について提供している。したがって、2次のフラネル積分については完全な計算が可能である。しかし、4次（$|A|=4$）の場合、著者は $X_N(A)$（または積分自体）に対する単純な閉形式の公式は見つかっていないと述べている。結果として、4次の結果は非初等的な項 $W_N(E)$ を孤立させている。

意義と範囲
本論文は、$q > 1$ のすべてのケースについて一般的な問題を解決したと主張しているのではない。むしろ、未解決の問題の範囲を大幅に絞り込んだものである。著者は、$q=2$ の場合の積分の計算が、未知の $V_4(m)$ に本質的に結びついた四重メビウス和 $W_4(m)$ の評価と同値であることを述べている。これは、一般化されたデデキント和に関連する整数値のモジュロ和を伴うものである。

論文は、4次のフラネル積分（および $W_4(m)$）の一般的な閉形式は見つかっていないものの、問題が特定の算術的計算へと集約されたことを指摘し、控えめに結論づけている。著者は、今後の課題として、周期関数 $\nu_n(nt)^2$ へのパーセバルの定理の適用、スペンス（Spence）の着想を用いた $V_4(m)$ の直接計算、あるいは和 $W_N$ の相反律の解析などが挙げられるとしている。主要な貢献は、ドランジュの未解決問題を、これらの特定のモジュロ和の評価へと厳密に還元したことにある。