Learning end-to-end inversion of circular Radon transforms in the partial radial setup

기술 요약: 부분 방사형 설정에서의 원형 라돈 변환의 엔드 투 엔드 역변환 학습

문제 정의
본 연구는 광음향 토모그래피(PAT) 맥락에서, 원형 라돈 변환 데이터 $g(\rho, \phi)$로부터 초기 음향 파동 압력 분포 $f(r, \theta)$를 재구성하는 역문제(inverse problem)를 다룬다. 특히 본 논문은 데이터가 전체 범위 $(0, 2R)$가 아닌 $\rho \in (0, R)$인 반경 내에서만 수집되는 **부분 방사형 설정(partial radial setup)**에 초점을 맞춘다. 이 설정은 데이터 획득의 실질적인 비용 제약에 의해 유도되지만, 상당한 수학적 난제를 동반한다.

주요 어려움은 이 특정 설정에 대해 존재하는 유일한 기존 수치 알고리즘이 절단된 특이값 분해(TSVD) 방법과 곱 트라페조이드 규칙(product trapezoidal rule)의 결합이라는 점이다. 저자들은 TSVD가 다음과 같은 심각한 한계를 지님을 입증한다:

1. 재구성 결과가 심각한 아티팩트(artifact)로 오염되어, 많은 경우 필드를 사용할 수 없게 만든다.
2. 문제 및 노이즈에 따라 달라지는 절단 매개변수(truncation parameter)가 필요하며, 이를 최적으로 선택하기 어렵다.
3. 제한된 시야(limited view) 시나리오(접근 불가능한 트랜스듀서 구역으로 인해 각도 데이터가 $[0, 2\pi)$의 일부로 제한되는 경우)에서는 TSVD 재구성 성능이 더욱 저하되어, 기저의 팬텀 구조를 복구하는 데 실패한다.

방법론
TSVD의 계산 병목 현상과 아티팩트 문제를 극적으로 해결하기 위해, 저자들은 ResBlock 기반 U-Net 구조를 사용하는 엔드 투 엔드 딥 러닝 알고리즘을 제안한다. 이 접근 방식은 역문제에 대한 딥 러닝의 "직접 접근(direct approach)" 범주에 속하며, 여기서 신경망은 중간의 전통적인 재구성 단계 없이 원시 측정값으로부터 재구성된 이미지를 직접 매핑하는 법을 학습한다.

• 순방향 모델 (Forward Model): 문제는 $Y = F(X) + \eta$로 프레임화된다. 여기서 $X$는 지면 진실(ground truth) 압력장($128 \times 128$ 그리드 상)이고, $Y$는 $\rho-\phi$ 그리드 상의 원형 라돈 데이터(시노그램)이다.
• 네트워크 아키텍처: 다중 스케일 특징을 추출하기 위한 수축 분기(contracting branch)와 공간 해상도를 복구하기 위한 확장 분기(expanding branch)로 구성된 U-Net이 채택되었다. 스킵 연결(skip connections)은 두 분기의 특징을 결합한다. 아키텍처는 두 가지 특정 입력 해상도에 맞게 조정되었다:
  • 전체 시야 (Full View): 입력 크기 $128 \times 128$ ($\rho \in [0, 1], \phi \in [0, 2\pi)$).
  • 제한된 시야 (Limited View): 입력 크기 $64 \times 64$ ($\rho \in [0, 1], \phi \in [0, \pi)$), 출력 해상도를 맞추기 위해 추가적인 보간(interpolation) 레이어가 필요하다.
• 데이터셋 생성: 이 특정 부분 방사형 설정에 대한 실험적 데이터가 존재하지 않으므로, 저자들은 **섭동된 셰프-로건 팬텀(perturbed Shepp-Logan phantoms)**을 사용하여 합성 데이터셋을 생성한다. 이 팬텀들은 타원의 중심, 축, 각도 및 강도를 무작위화한 후 회전 및 이동을 통해 수정되었다.
• 학습 전략: 네트워크는 평균 제곱 오차(MSE) 손실 함수를 사용하여 지도 학습 전략으로 훈련된다. 결정적으로, 저자들은 훈련 과정에서 노이즈가 미치는 영향을 조사한다. 이들은 깨끗한 데이터로 훈련된 네트워크와 깨끗한 데이터와 노이즈가 섞인 데이터(구체적으로 15% 노이즈)를 혼합하여 훈련된 네트워크를 비교한다. 목표는 네트워크가 노이즈가 있는 테스트 조건에서도 잘 일반화되도록 하는 것이다.
• 최적화: 네트워크는 $L2$ 정규화를 적용하여 Adam 옵티마이저를 통해 300 에포크(epoch) 동안 훈련된다.

주요 기여

1. TSVD 실패 입증: 본 논문은 부분 방사형 설정에서 표준 TSVD 방법이 심각한 아티팩트를 생성하며, 특히 제한된 시야 및 노이즈 조건 하에서 노이즈 수준이 높을 때 최대 400%의 오차를 발생시킬 수 있음을 수치적 증거로 제시한다.
2. 엔드 투 엔드 학습 프레임워크: 저자들은 시노그램으로부터 압력장으로의 직접적인 역물리 매핑을 학습하여, 수동으로 설계된 정규화나 중간 선형 재구성을 거치지 않는 U-Net 아키텍처를 도입한다.
3. 노이즈에 대한 강건성: 깨끗한 데이터와 노이즈가 섞인 데이터(구체적으로 최대 15% 노이즈)를 혼합하여 훈련하는 것이 일반화 성능을 크게 향상시킨다는 중요한 발견을 제시한다. 깨끗한 데이터로만 훈련된 네트워크는 노이즈가 있는 입력에 대해 정확하게 재구성하지 못하는 반면, 노이즈 증강 훈련은 모든 노이즈 스펙트럼에 걸쳐 안정적이고 아티팩트가 없는 결과를 생성한다.
4. 제한된 시야에 대한 적응: 본 연구는 제한된 시야 설정(절반의 각도 범위 및 더 거친 반경 샘플링)으로 딥 러닝 접근법을 성공적으로 확장하여, 네트워크가 감소된 데이터 차원을 효과적으로 처리할 수 있음을 보여준다.

결과
제안된 방법은 **최고 신호 대 잡음비(PSNR)**와 **구조적 유사도 지수(SSIM)**라는 정량적 지표를 사용하여 평가되었다.

• 전체 시야 성능: 노이즈 데이터로 훈련된 U-Net(UNet128cn15)은 TSVD보다 성능이 월등히 뛰어났다. TSVD 재구성은 노이즈가 0%에서 15%로 증가함에 따라 급격히 저하된 반면, U-Net은 높은 PSNR과 SSIM 값을 유지하며 모든 노이즈 수준에서 안정적이었다.
• 제한된 시야 성능: 마찬가지로, 제한된 시야 설정(UNet64cn15)에서도 딥 러닝 접근법은 정확하고 아티팩트가 없는 재구성을 생성했다. 반면, TSVD 재구성은 아티팩트로 인해 너무 심하게 오염되어 기저의 팬텀 구조를 거의 식별할 수 없는 수준이었다.
• 시각적 품질: 정성적 결과는 U-Net 재구성이 TSVD 특유의 줄무늬(streak) 아티팩트 없이 셰프-로건 팬텀의 구조적 세부 사항을 보존함을 확인시켜 주었다.

의의 및 주장
본 논문은 제안된 딥 러닝 알고리즘이 PAT의 부분 방사형 설정에서 발생하는 계산 병목 현상과 심각한 아티팩트 문제를 성공적으로 극복한다고 주장한다. 저자들은 이 접근 방식이 전통적인 선형 재구성을 전구체(precursor)로 사용하지 않고, 원시 측정값으로부터 직접 물리적 역매핑을 학습한다는 점에서 특히 유의미하다고 강조한다.

본 연구는 실제 측정 상황에서 노이즈가 불가피하기 때문에, 견고한 성능을 달ato 위해 노이즈가 포함된 데이터로 훈련하는 것의 필요성을 강조한다. 저자들은 현재의 작업이 합성 팬텀과 일정한 음속 가정에 국한되어 있지만, 제안된 프레임워크가 전통적인 방법들이 실패하는 PAT 역문제를 해결하는 실행 가능한 경로를 제공한다고 결론짓는다. 향-후 연구 방향으로는 알고리즘을 비일정한 음속으로 일반화하고 베이지안 설정을 통해 불확실성 정량화를 통합하는 것이 제시되었으나, 이는 현재의 성과가 아닌 향후 과제로 분류되었다.