Learning end-to-end inversion of circular Radon transforms in the partial radial setup

Résumé Technique : Apprentissage de l'inversion de bout en bout des transformées de Radon circulaires dans la configuration radiale partielle

Énoncé du Problème
Ce travail traite du problème inverse de la reconstruction de la distribution de pression des ondes acoustiques initiales, $f(r, \theta)$, à partir de données de la transformée de Radon circulaire, $g(\rho, \phi)$, dans le contexte de la tomographie photoacoustique (PAT). Plus précisément, l'article se concentre sur la configuration radiale partielle, un scénario où les données sont collectées uniquement pour des rayons $\rho \in (0, R)$ plutôt que pour la plage complète $(0, 2R)$. Cette configuration est motivée par des contraintes de coût pratiques lors de l'acquisition de données, mais elle présente des défis mathématiques importants.

La difficulté principale réside dans le fait que la seule méthode numérique traditionnelle existante pour cette configuration spécifique est la méthode de la Décomposition en Valeurs Singulières Tronquée (TSVD), couplée à une règle du trapèze produit. Les auteurs démontrent que la TSVD souffre de limitations sévères :

1. Elle produit des reconstructions contaminées par des artefacts significatifs, rendant les champs inutilisables dans de nombreux cas.
2. Elle nécessite un paramètre de troncature dépendant du problème et du bruit, ce qui est difficile à sélectionner de manière optimale.
3. Dans les scénarios à vue limitée (où les données angulaires sont restreintes à un sous-ensemble de $[0, 2\pi)$ en raison de zones de transducteurs inaccessibles), les reconstructions par TSVD se dégradent davantage, échouant à récupérer la structure du fantôme sous-jacent.

Méthodologie
Pour surmonter les goulots d'étranglement computationnels et les problèmes d'artefacts de la TSVD, les auteurs proposent un algorithme d'apprentissage profond de bout en bout basé sur une architecture U-Net à base de ResBlock. L'approche appartient à la classe d'apprentissage profond « directe » pour les problèmes inverses, où un réseau de neurones apprend à mapper directement les mesures brutes vers l'image reconstruite sans étapes de reconstruction traditionnelles intermédiaires.

• Modèle Direct (Forward Model) : Le problème est formulé comme $Y = F(X) + \eta$, où $X$ est le champ de pression réel (sur une grille de $128 \times 128$) et $Y$ est la donnée de Radon circulaire (sinogramme) sur une grille $\rho-\phi$.
• Architecture du Réseau : Un U-Net est employé, composé d'une branche de contraction pour extraire des caractéristiques multi-échelles et d'une branche d'expansion pour récupérer la résolution spatiale. Des connexions de saut (skip connections) combinent les caractéristiques des deux branches. L'architecture est adaptée pour deux résolutions d'entrée spécifiques :
  • Vue Complète (Full View) : Taille d'entrée $128 \times 128$ ($\rho \in [0, 1], \phi \in [0, 2\pi)$).
  • Vue Limitée (Limited View) : Taille d'entrée $64 \times 64$ ($\rho \in [0, 1], \phi \in [0, \pi)$), nécessitant une couche d'interpolation supplémentaire pour correspondre à la résolution de sortie.
• Génération de l'Ensemble de Données : Puisque les données expérimentales pour cette configuration radiale partielle spécifique sont indisponibles, les auteurs génèrent des ensembles de données synthétiques en utilisant des fantômes de Shepp-Logan perturbés. Ces fantômes sont modifiés en randomisant les centres, les axes, les angles et les intensités des ellipses, suivis d'une rotation et d'une translation.
• Stratégie d'Entraînement : Les réseaux sont entraînés selon une stratégie d'apprentissage supervisé avec une fonction de perte d'erreur quadratique moyenne (MSE). Crucialement, les auteurs étudient l'impact du bruit sur l'entraînement. Ils comparent des réseaux entraînés sur des données propres par rapport à des réseaux entraînés sur un mélange de données propres et bruitées (spécifiquement 15 % de bruit). L'objectif est de s'assurer que le réseau généralise bien aux conditions de test bruitées.
• Optimisation : Les réseaux sont entraînés avec l'optimiseur Adam pendant 300 époques avec une régularisation $L2$.

Contributions Clés

1. Démonstration de l'Échec de la TSVD : L'article fournit des preuves numériques que la méthode TSVD standard produit des artefacts sévères dans la configuration radiale partielle, particulièrement sous des conditions de vue limitée et de bruit élevé, entraînant souvent des erreurs allant jusqu'à 400 % pour des niveaux de bruit élevés.
2. Cadre d'Apprentissage de Bout en Bout : Les auteurs introduisent une architecture U-Net qui apprend directement la cartographie inverse physique du sinogramme vers le champ de pression, contournant ainsi le besoin de régularisation artisanale ou de reconstructions linéaires intermédiaires.
3. Robustesse au Bruit : Une découverte significative est que l'entraînement du réseau sur un mélange de données propres et bruitées (spécifiquement jusqu'à 15 % de bruit) améliore considérablement la généralisation. Les réseaux entraînés uniquement sur des données propres échouent à reconstruire avec précision lorsqu'ils sont testés sur des entrées bruitées, tandis que l'entraînement augmenté par le bruit produit des résultats stables et sans artefacts sur tout le spectre du bruit.
4. Adaptation à la Vue Limitée : L'étude étend avec succès l'approche d'apprentissage profond à la configuration de vue limitée (couverture angulaire réduite de moitié et échantillonnage radial plus grossier), démontant que le réseau peut gérer efficacement les dimensions de données réduites.

Résultats
La méthode proposée a été évaluée à l'aide de métriques quantitatives : le rapport signal sur bruit de crête (PSNR) et l'indice de similitude structurelle (SSIM).

• Performance en Vue Complète : Le U-Net entraîné avec des données bruitées (UNet128cn15) a nettement surpassé la TSVD. Alors que les reconstructions TSVD se dégradaient rapidement à mesure que le bruit augmentait de 0 % à 15 %, l'U-Net maintenait des valeurs PSNR et SSIM élevées, restant stable à travers tous les niveaux de bruit.
• Performance en Vue Limitée : De même, pour la configuration de vue limitée (UNet64cn15), l'approche d'apprentissage profond a produit des reconstructions précises et sans artefacts. En revanche, les reconstructions par TSVD étaient si corrompues par les artefacts que la structure du fantôme sous-jacent était presque indiscernable.
• Qualité Visuelle : Les résultats qualitatifs ont confirmé que les reconstructions de l'U-Net préservent les détails structurels des fantômes de Shepp-Logan sans les artefacts de traînées (streaks) caractéristiques de la méthode TSVD.

Signification et Revendications
L'article affirme que l'algorithme d'apprentissage profond proposé surmonte avec succès le goulot d'étranglement computationnel et les artefacts sévères associés à la méthode TSVD pour la configuration radiale partielle en PAT. Les auteurs soulignent que leur approche est particulièrement significative car elle opère directement sur les mesures brutes, apprenant la physique inverse sous-jacente sans dépendre d'une reconstruction linéaire traditionnelle comme précurseur.

Ce travail souligne la nécessité de l'entraînement avec des données bruitées pour obtenir des performances robustes dans des scénarios réels où le bruit de mesure est inévitable. Les auteurs concluent que, bien que le présent travail soit limité à des fantômes synthétiques et à des hypothèses de vitesse du son constante, le cadre proposé offre une voie viable pour résoudre les problèmes inverses de la PAT là où les méthodes traditionnelles échouent. Les travaux futurs identifient la généralisation de l'algorithme à des vitesses de son non constantes et l'incorporation de la quantification de l'incertitude via des configurations bayésiennes, mais ceux-ci sont présentés comme des directions futures plutôt que comme des accomplissements actuels.